Внешняя алгебра
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Внешняя алгебра (алгебра Грассмана) — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом.
[править] Определение
Внешняя алгебра векторного пространства V над полем k — ассоциативная алгебра над k, операция в которой обозначается знаком , порождающими элементами которой являются 1,e1,...,en, где
— базис пространства V, а определяющие соотношения имеют вид
,
;
,
.
Внешняя алгебра обычно обозначается , она не зависит от выбора базиса.
Подпространство (для
) в
, порождённое элементами вида
, назывется r-ой внешней степенью пространства V.
[править] Свойства
- Имеют место равенства:
-
, в частости
при r > n.
- градуированная комутативность:
, если
,
V.
- Элементы пространства
называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над V,
- Линейно независимые системы из r векторов
и
из V порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r-векторы
и
пропорциональны.