Диаграммы Фейнмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Диаграммы Фе́йнмана — наглядный и эффективный способ описания взаимодействия в квантовой теории поля (КТП). Метод предложен Ричардом Фейнманом в 1949 для построения амплитуд рассеяния и взаимного превращения элементарных частиц в рамках теории возмущений, когда из полного (эффективного) лагранжиана $\mathcal{L}$ системы полей выделяется невозмущённая часть (свободный лагранжиан) $\mathcal{L}_0$ , квадратичная по полям, а оставшаяся часть (лагранжиан взаимодействия) $\mathcal{L}_1$ трактуется как возмущение. Наиболее наглядную интерпретацию диаграммы Фейнмана приобретают в методе интегралов по траекториям.

Составными элементами диаграммы фейнмана являются вершины, внутренние и внешние линии. Каждая из линий подсоединяется к каким-нибудь вершинам: внутренняя к двум, а внешняя к одной. Набор вершин определяется структурой $\mathcal{L}_1$ , а набор внешних и внутренних линий — структурой $\mathcal{L}_0$ . Каждому моному по полям в $\mathcal{L}_1$ соответствует определённый тип вершин, а каждому виду поля в $\mathcal{L}_0$ определёенный тип линий. Если поле нейтральное (соответствующая частица совпадает со своей античастицей, то линия считается ненаправленной, в противном случае линия направленная и на диаграмме снабжается стрелкой.

Существуют так называемые правила Фейнмана, которые сопоставляют каждому элементу диаграммы фейнмана определенные математические объекты (величины и операции), так что по диаграммы фейнмана можно однозначно построить аналитическое выражение, дающее вклад в амплитуду рассеяния квантованных полей. Вместе с тем диаграммы фейнмана позволяет такому вкладу дать наглядную классическую интерпретацию в виде ряда последовательных локальных превращений частиц. Каждому отдельному превращению соответствует вершина, внутренним линиям — распространение промежуточной частицы от одного акта превращения до другого (пропагатор частицы), внешним линиям — волновые функции начальных и конечных частиц, участвующих в процессе. В качестве примера рассмотрим диаграммы фейнмана в квантовой электродинамике (КЭД), которая описывает взаимодействие электронов, позитронов и фотонов между собой. В КЭД имеются всего один тип вершин (рис. 1) и два типа линий (рис. 2). Ненаправленная волнистая линия относится к фотону, а направленная прямая - к электрону и позитрону.

В последнем случае распространению основной частицы (электрона) соответствует движение вдоль линии по направлению стрелки, а распространению античастицы (позитрона) — движение против стрелки.

Каждая диаграмма фейнмана имеет несколько интерпретаций в зависимости от направления движения вдоль линий этой диаграммы. Так, для диаграммы фейнмана, изображённой на рис. 3, допустимы следующие варианты.

Движение по линиям слева направо — рассеяние фотона на электроне. В вершине 1 начальный электрон поглощает начальный фотон, при этом образуется промежуточный электрон, который распространяется от вершины 1 к вершине 2. Здесь он излучает конечный фотон и превращается в конечный электрон. Результатом процесса является перераспределение 4-импульса (энергии и импульса) между электроном и фотоном.
Движение по линиям справа налево — рассеяние фотона на позитроне.
Движение снизу вверх — аннигиляция электрона и позитрона с превращением их в два фотона.
Движение сверху вниз — рождение электрон-позитронной пары при столкновении двух фотонов.

Согласно правилам Фейнмана, в каждой вершине взаимопревращение частиц происходит с интенсивностью, пропорциональной некоторой константе связи (константе взаимодействия), и с соблюдением закона сохранения 4-импульса. Вместе с тем релятивистское соотношение между энергией и импульсом $\Epsilon = \sqrt{ P^2 c^2 + m^2 c^2 }$ ( $Ε$ — энергия, Р — обычный трёхмерный импульс, m — масса) выполняется только для начальных и конечных частиц, описываемых внешними линиями (реальные частицы). Это соотношение нарушается для промежуточных частиц, описываемых внутренними линиями, в связи с чем они наз. виртуальными частицами. Для них $Ε$ и Р могут независимо принимать значения от —∞ до +∞.

Поле может быть как однокомпонентным, так и многокомпонентным. В КЭД и фотонное (векторное электромагнитное) поле, и электрон-позитронное (спинорное) поле имеют по четыре компоненты. Каждая линия в диаграммы фейнмана описывает сразу всю совокупность компонент соответствующего поля. В суперсимметричных моделях линия в диаграммы фейнмана описывает распространение целого мультиплета элементарных частиц, которые соответствуют разным компонентам одного суперполя.

Тип физического процесса определяется только теми частицами, которые имеются на входе и выходе этого процесса. Поэтому все диаграммы фейнмана с одним и тем же набором внеш. линий вне зависимости от своей внутр. структуры соответствуют одному и тому же физическому процессу. Каждая из таких диаграмм вносит аддитивный вклад в амплитуду процесса. Так, помимо диаграммы, изображённой на рис. 3, эффекту Комптона соответствуют, например, диаграммы, приведённые на рис. 4.

Отличительной чертой этих диаграмм является наличие в них замкнутых циклов (петель), состоящих из внутренних линий. Диаграммы типа рис. 4,а называются однопетлевыми, а типа рис. 4, б и рис. 4, в — двухпетлевыми. Беспетлевые диаграммы типа рис. 3 называются древесными. Из всех диаграмм, соответствующих данному физическому процессу, древесные диаграммы имеют наименьшее число вершин. Поэтому в теории возмущений, в которой роль малого параметра играет константа связи, древесные диаграммы вносят основной вклад, а диаграммы с петлями описывают радиационные поправки.

Помимо разложения всех величин в ряд теории возмущений по константе связи используется разложение в ряд по константе Планка. Оказывается, что вклад диаграммы фейнмана пропорционален $\hbar^n$ , где n — число петель в данной диаграмме. Поэтому в классическом пределе (h → 0) вклад дают только древесные диаграммы. Кроме амплитуд рассеяния диаграммы фейнмана используются для описания функций Грина (в КТП). В обоих случаях структуры диаграмм очень схожи, что отражает тесную связь между функциями Грина и амплитудами рассеяния. Существенным отличием является лишь то, что для функций Грина внешним линиям соответствует распространение виртуальных частиц (вне массовой поверхности).

Согласно правилам Фейнамана, каждой петле в диаграмме фейнмана отвечает интегрирование по 4-импульсу, который может циркулировать в данной петле, не нарушая законов сохранения в вершинах. Некоторые из этих интегралов расходятся за счёт бесконечного объёма интегрирования (ультрафиолетовые расходимости). Существует последовательный метод, называемый процедурой регуляризации и перенормировки, который позволяет избавиться от этих расходимостей. В этом методе формулируются правила, по которым некоторым внутренним блокам (обобщённым вершинам, см. ниже) в диаграмме фейнмана ставятся в соответствие определенные математический операции. С их помощью удаётся скомпенсировать Ультрафиолетовые расходимости.

В выделении обобщённых вершин, используемых в процедуре перенормировок, существенную роль играет следующая классификация диаграмм фейнмана. Диаграмма называется связной, если из любой её вершины можно попасть в любую другую, перемещаясь по внутренним линиям. В противном случае диаграмма называется несвязной. Диаграмма называется сильно связной или одночастично неприводимой, если она остаётся связной после разрыва любой одной внутр. линии. Различные совокупности вершин и внутренних линий диаграммы называются её поддиаграммами. Они имеют ту же классификацию, что и диаграммы. Обобщённые вершины—это сильно связные поддиаграммы, которые подсоединяются к другим частям диаграммы так же, как обычные вершины или внутр. линии, В КЭД три типа обобщённых вершин: собственная энергия электрона (подсоединяется двумя электрон-позитронными линиями), собственная энергия фотона или поляризация вакуума (подсоединяется двумя фотонными линиями), треугольная вершина (подсоединяется двумя электрон-позитронными линиями и одной фотонной).

Специфические особенности имеет диаграммная техника для моделей с неабелевыми калибровочными полями. Это связано с тем, что для их последовательной релятивистски инвариантной формулировки приходится рассматривать помимо физических компонент калибровочных полей и нефизические. Оказывается, что лишний вклад в наблюдаемые величины от нефизических компонент можно скомпенсировать вкладом некоторых «духовых» полей, имеющих неправильную связь спина со статистикой. Соответственно этому помимо диаграмм, описывающих распространение и взаимодействие материальных и калибровочных полей, приходится рассматривать диаграммы, в которых фигурируют «духовые» поля. Так, в квантовой хромодинамике помимо вершин, описывающих взаимодействие материальных полей (кварков) с калибровочными полями (глюонами) и глюонов между собой (рис. 5, а и рис. 5, б, 5, в), приходится вводить вершины, описывающие взаимодействие глюонов с «духами» (рис. 5, г).

Поскольку для физических процессов ни в начальном, ни в конечном состоянии «духи» присутствовать не могут, то вклад в амплитуду таких процессов дают только диаграммы, в которых нет внешних «духовых» линий. Однако при рассмотрении выражений, не зависящих от поляризации начальных и (или) конечных калибровочных полей, иногда технически более удобно суммировать по всем компонентам этих полей, а не только по физическим. В этом случае вклад нефиз. компонент может быть скомпенсирован вкладом от диаграмм, в которых в начальном и (или) конечном состоянии «духи» присутствуют.

диаграммы фейнмана широко используются для анализа аналитических свойств амплитуд рассеяния, в частности для исследования их особенностей (сингулярностей). Иногда это позволяет из всей совокупности диаграмм, отвечающих данному процессу, выделить некоторую подсовокупность, которая вносит основной вклад.

Метод диаграммы фейнмана успешно применяется также в квантовой теории многих частиц, в частности для описания конденсированных тел и ядерных реакций.