Кривая Пеано
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Кривая Пеано — непрерывный образ отрезка, заполняющий внутренность квадрата.
Обычно такие примеры строятся как предел кривых последовательности кривых.
Содержание |
[править] Свойства
Всякая кривая Пеано имеет кратные точки — это «предложение имеет огромную принципиальную важность для геометрии, так как оно показывает, в чем именно кроется самая геометрическая сущность различия числа измерений плоскости и прямой» (Лузин). Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе),— такова, например, кривая, построенная самим Дж. Пеано; конструкция Гильберта выше содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).
С понятием кривой Пеано связан любобопытпый факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, — такова, например, кривая
- r(t) = (x(t),y(t),t)
где первые две функции задают кривую Пеано. Хотя эта дуга и может защитить от вертикальных солнечных лучей, она не может служить защитой от дождя т.к. не есть непрерывная поверхность.
Существуют кривые Пеано сохраняющие меру, т.е. мера лебега подмножества квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке. Выше приведённый пример Гильберта обладает этим свойством.
[править] Обобщения
Существует аналог кривых Пеано, заполняющий многомерный куб и даже гилбертов кирпич.
Далеко идущее обобщение содержит теорема Мазуркевича:
|
Если X — континуум, то эквивалентны условия:
|
[править] История
Первая такая кривая была построена Джузеппе Пеано в 1890.
[править] Литература
- Peano G., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 157;
- Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
- Лузин Н. Н., Теория функций дейстнителыгого переменного, 2 изд., М., 1948.
