Лемма Фату
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей.
[править] Формулировка из функционального анализа
Пусть фиксировано пространство с мерой 
. Предположим, что 
— последовательность неотрицательных интегрируемых функций на X. Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов
.
[править] Формулировка из теории вероятностей
Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов Ω, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть неотрицательная последовательность интегрируемых случайных величин 
. Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов
![\mathbb{E}\left[{\liminf\limits_{n\to \infty}}X_n\right] \le {\liminf\limits_{n\to \infty}} \,\mathbb{E} X_n.](../../../math/7/c/8/7c8b77b68158d35c237980dd6b2df3aa.png)
