Линейная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Линейная функция — функция вида

f (x) = k x + b .

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. График линейной функции является прямой линией.

[править] Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция $n$ переменных $x = (x 1, x 2,.., x n)$ — функция вида

$f(x)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

где $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё $n$ -мерное пространство переменных $x 1, x 2,.., x n$ вещественных или комплексных. При $a 0 = 0$ линейная функция называетса однородной, или линейной формой.

Если все переменные $x 1, x 2,.., x n$ и коэффициенты $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — вещественные числа, то графиком линейной функции в $(n + 1)$ -мерном пространстве переменных $x 1, x 2,.., x n, y$ является $n$ -мерная гиперплоскость

$y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

в частности при $n = 1$ — прямая линия на плоскости.

[править] Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства $X$ над некоторым полем $k$ в это поле, то есть для такого отображения $f: X\to k$ , что для любых элементов $x,y\in X$ и любых $\alpha,\beta\in k$ справедливо равенство