Матричный метод

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ма́тричный метод решения систем систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными (над произвольным полем):

${ \begin{cases} a_{11}x_1+ \ldots +a_{1n}x_n=b_1, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1+ \ldots +a_{nn}x_n=b_n \end{cases} }$

Тогда её можно переписать в матричной форме:

$A X = B$ , где $A$ — основная матрица системы, $B$ и $X$ — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

Умножим это матричное уравнение слева на $A - 1$ — матрицу, обратную к матрице $A$ : $A^{-1}\left( AX \right) = A^{-1}B$

Так как $A - 1 A = E$ (учитывая ассоциативность матричного произведения), получаем $X = A - 1 B$ . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равных числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

$det A \ne 0$

Для однородной системы линейных уравнений, т.е. когда вектор B=0, действительно обратное правило: система AX=0 имеет нетривиальное (т. е. ненулевое) решение только если det A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Категория: Линейная алгебра

Матричный метод

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Views

Навигация

Участие

Поиск