Наблюдатель (динамические системы)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Система

$\dot q(t)=F(t)q(t)+G(t)y(t)+H(t)u(t)$ (1)

$z(t)=K(t)q(t)+L(t)y(t)+M(t)u(t)\!$ (2)

является наблюдателем для системы

$\dot x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$ (3),

$y(t)=C(t)x(t)\!$ (4),

если для каждого начального состояния $x(t_0)\!$ системы (3)-(4) существует начальное состояние $q_0\!$ для системы (1)-(2), такое, что равенство $q(t_0)=q_0\!$ приводит к $z(t)=x(t), t \ge t_0$ при всех управлениях $u(t), t \ge t_0$ .

Здесь $A(t), B(t), C(t), F(t), G(t), H(t), K(t), L(t), M(t)\!$ — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность $q(t)\!$ равна размерности $x(t)\!$ и выполнение условия $q(t_0)=x(t_0)\!$ дает $q(t)=x(t), t \ge t_0$ при всех управлениях $u(t), t \ge t_0$ , то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. $n\!$ -мерный вектор $x(t)\!$ , называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени $t\!$ . $r\!$ -мерный вектор $u(t)\!$ описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

$l\!$ -мерный вектор $y(t)\!$ представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно $l<n\!$ . $y(t)\!$ называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда $F(t)=A(t)-K(t)C(t)\!$ , $G(t)=K(t)\!$ , $H(t)=B(t)\!$ , где $K(t)\!$ является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

$\dot q(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)]$ (5).

Матрица $K(t)\!$ называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде $\dot q(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t)]$ , откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы $A(t)-K(t)C(t)\!$ .

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления $K\!$ , устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы $A-KC\!$ , называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

$e(t)=x(t)-q(t)\!$

удовлетворяет дифференциальному уравнению

$\dot e(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t)$ .

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

$e(t) \to 0$ при $t \to 0$

для всех $e(t_0)\!$ тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления $K\!$ , однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной $y(t)\!$ .