Неравенство Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Вы получили новые сообщения (последнее изменение).

Нера́венство Минко́вского - это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой $p$ -ой степенью.

Содержание

1 Формулировка
2 Замечание
3 Частные случаи
4 См. также

[править] Формулировка

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ - пространство с мерой, и функции $f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu)$ , то есть $\int_X |f|^p\, d\mu < \infty,\; \int_X |g|^p\, d\mu < \infty$ , где $p \ge 1$ , и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда $f+g \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ , и более того:

$\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}$ .

[править] Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве $L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ можно ввести норму:

$\|f\|_p = \left(\;\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}$ ,

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

[править] Частные случаи

[править] Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство $E = \mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$ . $L p$ -норма в этом пространстве имеет вид:

$\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top}$ ,

и тогда

$\left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E$ .

Если $n = 2,3$ и $p = 2$ , то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

[править] Пространство l^p

Пусть $X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m$ - счётная мера на $\mathbb{N}$ . Тогда множество всех последовательностей $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ , таких что

$\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty$ ,

называется $l p$ . Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

$\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p$ .

[править] Вероятностное пространство

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ - вероятностное пространство. Тогда $L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ состоит из случайных величин с конечным $p$ -м моментом: $\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty$ , где символ $\mathbb{E}$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид: