Неравенство о средних

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. среднее значение.

Среднее степени d набора положительных вещественных чисел $x_1, \ldots, x_n$ определяется как

$A_d(x_1, \ldots, x_n) = \left( \frac{x_1^d + \ldots + x_n^d}{n} \right)^{1/d}$

При этом по непрерывности доопределяются следующие величины

$A_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to 0} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n}$

$A_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to +\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}$

$A_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to -\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}$

Средние степеней 1, 0, -1 и 2 имеют собственные имена:

$A_1(x_1, \ldots, x_n) = \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}$ называется средним арифметическим;

(иначе говоря: среднее арифметическое n чисел, является их сумма, деленная на n)

$A_0(x_1, \ldots, x_n) = \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n}$ называется средним геометрическим;

(иначе говоря: среднее геометрическое n чисел, является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

$A_{-1}(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}$ называется средним гармоническим.
$A_{2}(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \ldots + x_n^2}{n}}$ называется средним квадратичным.

[править] Неравенство о средних

Неравенство о средних утверждает, что для $d 1 > d 2$

$A_{d_1}(x_1, \ldots, x_n) \geq A_{d_2}(x_1, \ldots, x_n)$ ,

причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов $x_1 = \ldots = x_n$ .

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная $A_d(x_1, \ldots, x_n)$ по $d$ неотрицательна и обращается в ноль только при $x_1 = \ldots = x_n$ .

[править] Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

$\max\{ x_1, \ldots, x_n \} \geq \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \geq \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \geq \min\{ x_1, \ldots, x_n \},$

где каждое из равенств достигается только при $x_1 = \ldots = x_n$ .