Пи

Из пројекта Википедија

Мало пи

Математичка константа π се често користи у математици и физици. 'π' је мало слово грчког алфабета и мења се са пи када је недоступно. У еуклидској планиметрији, π се може дефинисати као однос обима и пречника круга, или као површина круга полупречника 1 (јединичног круга). Већина новијих уџбеника дефинише π аналитички, користећи тригонометријске функције, на пример као најмање позитивно x за које је sin(x) = 0, или као два пута најмање позитивно x за које је cos(x) = 0. Све ове дефиниције су еквивалентне.

π је такође познато и као Архимедова константа (не треба мешати са Архимедовим бројем) и Лудолфов број.

Нумеричка вредност π заокружена на 64 децимална места је:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

[уреди] Особине

π је ирационалан број; то јест, не може се написати као однос два цела броја. Ово је доказао Јохан Хајнрих Ламберт 1761. године. Заправо, овај број је трансцендентан, што је доказао Фердинанд фон Линдеман 1882. године. То значи да не постоји нетривијалан полином са рационалним коефицијентима, чији је π корен.

Важна последица трансцедентности овог броја је чињеница да није конструктибилан. Ово значи да је немогуће изразити π користећи само коначан број целих бројева, разломака, и над њима четири основне и операцију квадратног кореновања. Ово доказује да није могуће извршити квадратуру круга: немогуће је конструисати (користећи само лењир и шестар) квадрат чија је површина једнака површини датог круга. Разлог је тај да су, полазећи од јединичног круга и тачке $(1,0)$ на њему, координате свих тачака које се могу конструисати коришћењем лењира и шестара конструктибилни бројеви.

[уреди] Формуле са π

[уреди] Геометрија

π се појављује у доста формула у геометрији које се тичу кругова, елипси, ваљака, купа и лопти.

Геометријски облик	Формула
обим круга полупречника r и пречника d	$O = \pi d = 2 \pi r \,\!$
Површина круга полупречника r	$P = \pi r^2 \,\!$
Површина елипсе са полуосама a и b	$P = \pi a b \,\!$
Запремина кугле полупречника r	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!$
Површина кугле полупречника r	$P = 4 \pi r^2 \,\!$
Запремина ваљка висине H и полупречника r	$V = \pi r^2 H \,\!$
Површина ваљка висине H и полупречника r	$P = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) H = 2 \pi r (r + H) \,\!$
Запремина купе висине H и полупречника r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H \,\!$
Површина купе висине H и полупречника r	$P = \pi r \sqrt{r^2 + H^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + H^2}) \,\!$

Такође, угао од 180° (у степенима) износи π радијана.

[уреди] Анализа

Доста формула у анализи садржи π, укључујући представљања у облику бесконачног реда (и бесконачног производа), интеграле и такозване специјалне функције.

Франсоа Вијет, 1593:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots$

Лајбницова формула:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Овај често навођени бесконачни ред најчешће се пише у горњем облику, док је технички исправан запис:

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}$

Валисов производ:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

Интеграл вероватноће, познат из калкулуса (види такође и Функција грешке и Нормална расподела):

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

Базелски проблем, који је први решио Ојлер (види такође и Риманова зета-функција):

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

и, уопште,

ζ(2 n)

је рационални умножак броја

π 2 n

за свако природно n.

Вредност Гама-функције у тачки 1/2:

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$

Стирлингова апроксимациона формула:

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

Ојлеров идентитет (којег је Ричард Фејнман назвао "најизванреднијом формулом у математици"):

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

Особина Ојлерове φ-функције:

$\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2$

Површина једне четвртине јединичног круга:

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}$

[уреди] Комплексна анализа

Специјалан случај Ојлерове формуле за $e^{ix}\,$ :

$e^{i\pi}\,\!+1=0$

Основни случај Теореме о остацима:

$\oint\frac{dz}{z}=2\pi i$

[уреди] Верижни разломак

π има пуно представљања у облику верижних разломака, као што је на пример:

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

[уреди] Теорија бројева

Неки резултати из Теорије Бројева:

Вероватноћа да су два случајно изабрана цела броја узајамно проста је 6/π².
Вероватноћа да је случајно изабран цео број бесквадратан је 6/π².
У просеку, број начина да се дати природан број напише као збир два савршена квадрата (редослед сабирака је битан) је π/4.

Овде, "вероватноћа", "просек" и "насумичан" су узети у смислу граничне вредности; тј. посматра се вероватноћа одговарајућег догађаја у скупу бројева {1,2, ... N} , а затим узима гранична вредност те вероватноће када N→∞ (N је "јако велико").

[уреди] Динамички системи/Ергодичка теорија

У теорији динамичких система (види такође ергодичка теорија), за скоро свако реално x₀ у интервалу [0,1],

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\,,$

где су x_i итериране вредности логистичког пресликавања за r = 4.

[уреди] Физика

У физици, појава броја π у формулама је најчешће ствар договора и нормализације. На пример, коришћењем упрошћене Планкове константе $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ може се избећи писање броја π експлицитно у великом броју формула у квантној механици. Заправо, упрошћена варијанта је и базичнија, а присуство фактора 1/2π у формулама које користе h може се сматрати напросто условљеном уобичајеном дефиницијом Планкове константе.

Хајзенбергов принцип неодређености:

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$

Ајнштајнова једначина поља опште теорије релативности:

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$

Кулонов закон за електричну силу:

$F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

Магнетна пермеабилност слободног простора:

$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\,\mathrm{H/m}\,$

[уреди] Вероватноћа и статистика

У вероватноћи и статистици постоји пуно расподела, чији аналитички изрази садрже π, укључујући:

Густина расподеле вероватноће за нормалну расподелу са математичким очекивањем μ и стандардном девијацијом σ:

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}$

Густина расподеле вероватноће за (стандардну) Кошијеву расподелу:

$f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}$

Треба приметити да се, како је $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$ за сваку Функцију густине расподеле вероватноће f(x), помоћу горњих формула може добити још интегралних формула за π.

Занимљива емпиријска апроксимација броја π заснована је на проблему Буфонове игле. Посматрајмо опит у којем се игла дужине L баца на раван на којој су означене две паралелне праве на међусобном растојању S (где је S>L). Ако се игла на случајан начин баци велики број (n) пута, од којих се x пута заустави тако да сече једну од правих, онда приближну вредност броја π можемо добити коришћењем формуле

$\pi \approx \frac{2nL}{xS}$

[уреди] Историја

Симбол "π" за Архимедову константу је први пут увео 1706. године математичар Вилијам Џоунс када је објавио Нови увод у математику (A New Introduction to Mathematics), мада је исти симбол још раније коришћен да назначи обим круга. Ова ознака постала је стандардна након што ју је усвојио Леонард Ојлер. У оба случаја, 'π' је прво слово речи περιμετρος (периметрос), што значи 'мерити около' на грчком језику.

Ево кратке хронологије броја π:

Време	Особа	Вредност π (светски рекорди су масни)
20. век пне.	Вавилонци	25/8 = 3.125
20. век пне.	Египатски математички папирус (Рајндов папирус)	(16/9)² = 3.160493...
12. век пне.	Кинези	3
средина 6. века пне.	1 Краљеви 7:23	3
434. пне.	Анаксагора је покушао да квадрира круг лењиром и шестаром
3. век пне.	Архимед	223/71 < π < 22/7 (3.140845... < π < 3.142857...)
20. пне.	Витрувије	25/8 = 3.125
130	Чанг Хонг	√10 = 3.162277...
150	Птоломеј	377/120 = 3.141666...
250	Ванг Фау	142/45 = 3.155555...
263	Лиу Хуи	3.14159
480	Зу Чонгжи	3.1415926 < π < 3.1415927
499	Арјабхата	62832/20000 = 3.1416
598	Брамагупта	√10 = 3.162277...
800	Мухамед Ал Хорезми	3.1416
12. век	Баскара	3.14156
1220	Фибоначи	3.141818
1400	Мадава	3.14159265359
Сви подаци од 1424. су дати у бројевима тачних децималних места (дм).
1424	Џамшид Масуд Ал Каши	16 дм
1573	Валентус Ото	6 дм
1593	Франсоа Вијет	9 дм
1593	Адријен ван Ромен	15 дм
1596	Лудолф ван Цојлен	20 дм
1615	Лудолф ван Цојлен	32 дм
1621	Вилеброрд Снел (Снелије), Лудолфов ученик	35 дм
1665	Исак Њутн	16 дм
1699	Абрахам Шарп	71 дм
1700	Секи Кова	10 дм
1706	Џон Мејчин	100 дм
1706	Вилијам Џоунс увео грчко слово 'π'
1730	Камата	25 дм
1719	Де Лањи израчунао 127 децималних места, али нису сва била тачна	112 дм
1723	Такебе	41 дм
1734	Леонард Ојлер усвојио грчко слово 'π' и обезбедио његову популарност
1739	Мацунага	50 дм
1761	Јохан Хајнрих Ламберт доказао да је π ирационалан број
1775	Ојлер указао на могућност да би π могао бити трансцендентан
1789	Јуриј Вега израчунао 140 децималних места, али нису сва била тачна	137 дм
1794	Адријан-Мари Лежандр показао да је и π² (па самим тим и π) ирационалан, и спомиње могућност да је π могуће трансецедентан.
1841	Радерфорд израчунао 208 децималних места, али нису сва била тачна	152 дм
1844	Захарија Дазе и Штрасницки	200 дм
1847	Томас Клаузен	248 дм
1853	Леман	261 дм
1853	Радерфорд	440 дм
1853	Вилијам Шенкс	527 дм
1855	Рихтер	500 дм
1874	Вилијам Шенкс је посветио 15 година израчунавању 707 децималних места, али нису сва била тачна (грешку је открио Д. Ф. Фергусон 1946. године)	527 дм
1882	Линдеман доказао да је π трансцедентан (Линдеман-Вајерштрасова теорема, коју неки зову и "најлепшом теоремом целе математике")
1946	Д. Ф. Фергусон користећи стони калкулатор	620 дм
1947		710 дм
1947		808 дм
Сви рекорди од 1949. надаље израчунати су помоћу електронских рачунара.
1949	Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит били су први који су користили електронски рачунар (Енијак) да израчунају π	2,037 дм
1953	Малер показао да pi; није Лиувилов број
1955	Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит	3,089 дм
1961		100,000 дм
1966		250,000 дм
1967		500,000 дм
1974		1,000,000 дм
1992		2,180,000,000 дм
1995	Јасумаса Канада	> 6,000,000,000 дм
1997	Канада и Такахаши	> 51,500,000,000 дм
1999	Канада и Такахаши	> 206,000,000,000 дм
2002	Канада и тим	> 1,240,000,000,000 дм
2003	Канада и тим	> 1,241,100,000,000 дм
Април 2004	Канада и тим	1.3511 билион цифара укупно

[уреди] Нумеричке апроксимације броја π

Због трансцедентне природе броја π, не постоје прикладни затворени изрази за π. Стога, нумеричка израчунавања морају користити приближне вредности (апроксимације) броја. За пуно потреба, 3.14 или 22/7 је довољно близу, иако инжењери често користе 3.1416 или 3.14159 (5, односно 6 значајних цифара) ради веће прецизности. Апроксимације 22/7 и 355/113, са 3 и 7 значајних бројки, се добијају из једноставног развоја π у верижни разломак.

Поред тога, следећа нумеричка формула даје апроксимацију π са 9 исправних цифара:

$(63/25)((17+15\sqrt 5)/(7+15\sqrt5))$

Египатски писар по имену Ахмес је извор најстаријег познатог текста који даје приближну вредност броја π. Рајндов папирус датира из египатског другог средњег периода—мада Ахмес тврди да је преписивао папирус из Средњег краљевства—и описује вредност тако да је добијени резултат заправо 256 подељено са 81, тј. 3.160.

Кинески математичар Лиу Хуи је израчунао π до 3.141014 (тачно до 3 децимална места) 263. године и предложио да је 3.14 добра апроксимација.

Индијски математичар и астроном Арјабхата дао је прецизну апроксимацију за π. Он је написао: "Додај четири на сто, помножи са осам, а онда додај шездесетдвехиљаде. Резултат је приближно једнак обиму круга пречника двадесетхиљада. Овим правилом дат је однос између обима и пречника." Другим речима, (4+100)×8 + 62000 је обим круга пречника 20000. Ово даје вредност π = 62832/20000 = 3.1416, тачну када се заокружи на 4 децимална места.

Кинески математичар и астроном Зу Чонгжи је израчунао π до 3.1415926–3.1415927, и дао две апроксимације: 355/113 и 22/7 (у 5. веку).

Ирански математичар и астроном Гијат ад-дин Џамшид Кашани (1350–1439) је израчунао π до 9 цифара у бројном систему са основом 60, што је еквивалентно са 16 децималних места као:

2 π = 6.2831853071795865

Немачки математичар Лудолф ван Цојлен (око 1600) је израчунао првих 35 децимала. Био је тако поносан на своје достигнуће да их је дао урезати у свој надгробни споменик.

Словеначки математичар Јуриј Вега је 1789. израчунао првих 140 децимала, од којих је првих 137 било тачно и држао је светски рекорд 52 године—све до 1841—када је Вилијам Радерфорд израчунао 208 децималних места, од којих су прва 152 била тачна. Вега је побољшао формулу Џона Мејчина из 1706; његов метод се спомиње и данас.

Ниједна од горе датих формула не може да послужи као ефикасни начин налажења приближних вредности броја π. За брза израчунавања, могу се користити формуле попут Мејчинове:

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

заједно са Тејлоровим развојем функције arctan(x). Ова формула се најлакше проверава коришћењем поларних координата комплексних бројева, кренувши од:

$(5+i)^4\cdot(-239+i)=-114244-114244i.$

Формуле ове врсте су познате као формуле сличне Мејчиновој.

Екстремно дугачки децимални развоји броја π се по правилу рачунају Гаус-Лежандровим алгоритмом и Борвајновим алгоритмом; Саламен-Брентов алгоритам који потиче из 1976. године је такође коришћен у прошлости.

Првих милион цифара бројева π и 1/π су доступни на Пројекту Гутенберг (види спољне везе доле). Тренутни рекорд (децембар 2002) има 1 241 100 000 000 цифара, које су израчунате у септембру исте године на 64-чворном Хитачи суперрачунару са једним терабајтом радне меморије, који врши 2 билиона операција у секунди, скоро дупло више од рачунара коришћеног за претходни рекорд (206 милијарди цифара). Коришћене су следеће формуле сличне Мејчиновој:

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$ –К. Такано (1982).

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$ –Ф. Ц. В. Штермер (1896).

Ове приближне вредности имају толико пуно цифара да више немају никаквог практичног значаја, изузев за тестирање нових суперрачунара и (очигледно) за установљавање нових рекорда у израчунавању броја π.

1996. године Дејвид Х. Бејли је, заједно са Питером Борвајном и Сајмоном Плуфеом, открио нову формулу за π у облику збира бесконачног реда:

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

Ова формула омогућава да се лако израчуна k^тa бинарна или хексадецимална цифра броја π без потребе за рачунањем претходних k − 1 цифара. Бејлијева веб-страна садржи извођење ове формуле, као и њену имплементацију у разним програмским језицима. ПиХекс пројекат је израчунао 64-бите око милијардитог бита броја π (који је, узгред, 0).

Остале формуле које су до сада коришћене за израчунавање приближних вредности π укључују:

$\frac{\pi}{2}= \sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}= 1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right)$ —Њутн.

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ —Рамануџан.

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$ —Давид Чудновски и Григориј Чудновски.

${\pi} = 20 \arctan\frac{1}{7} + 8 \arctan\frac{3}{79}$ —Ојлер.

На рачунарима са Мајкрософт Виндоус оперативним системом, програм ПиФаст може се користити за брзо израчунавање великог броја цифара. Највећи број цифара броја π израчунат на кућном рачунару је 25 000 000 000, за које је ПиФаст-у требало 17 дана.

[уреди] Отворена питања

Отворено питање о овом броју које навише притиска јесте да ли је π нормалан број—да ли се ма који блок цифара јавља у његовом децималном развоју управо онолико често колико би се статистички могло очекивати ако би се цифре производиле потпуно "насумично". Ово мора да буде тачно у било којој основи, а не само у декадном систему (основи 10). Садашње знање у овом смеру је веома оскудно; на пример, не зна се чак ни које се од цифара (0,...,9) појављују бесконачно често у децималном развоју овог броја.

Бејли и Крендал су показали 2000. године да постојање горе поменуте Бејли-Борвајн-Плуфе формуле и сличних формула повлачи да се тврђење о нормалности броја π и разних других константи у основи 2 може свести на извесну разумну претпоставку у Теорији хаоса. За појединости, погледајте горе наведени Бејлијев сајт.

Такође није познато да ли су π и e алгебарски независни, тј. да ли постоји нетривијална полиномска релација између ова два броја са рационалним коефицијентима.

Џон Харисон (1693–1776) је створио музички систем изведен из π. Овај Луси тјунинг систем, (због јединствених математичких особина броја π) може да ослика све музичке интервале, хармоније и хармонике. Ово сугерише да би се коришћењем π могао добити прецизнији модел за анализу како музичких, тако и других хармоника у вибрирајућим системима.

[уреди] Природа броја π

У не-еуклидској геометрији, збир углова троугла може да буде мањи или већи од π радијана, а однос обима круга и његовог пречника може се такође разликовати од π. Ово не мења његову дефиницију, али утиче на многе формуле где се π појављује. Па тако, посебно, облик универзума не утиче на π; π није физичка него математичка константа, дефинисана независно од ма каквих физичких мерења. Разлог зашто се π појављује тако често у физици је једноставно зато што је подесан у многим физичким моделима.

Посматрајмо, као пример, Кулонов закон:

$F = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{\left|q_1 q_2\right|}{r^2}$ .

Овде, $4 \pi r^2\,$ је напросто површина лопте полупречника r. У овој форми, ово је погодан начин описивања инверзне квадратне везе између силе и растојања r од тачкастог извора. Наравно, било би могуће да се овај закон опише на друге, али мање згодне—или у неким случајевима згодније начине. Ако користимо Планково наелектрисање, Кулонов се закон може описати као $F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ чиме се уклања потреба за π.

[уреди] Спомињања у фикцији

Контакт (Контакт)—научно-фантастично дело Карла Сагана, а касније филмска адаптација Џоди Фостер. Саган разматра могућност потписа, који су у децимални развој броја π уградили ствараоци универзума.
π (филм)—О вези између бројева и природе: откривање такве везе а да нисте нумеролог.
Time's Eye (Око времена)—Научна фантастика Артура Ч. Кларка и Стивена Бакстера. У свету који су престројиле ванземаљске силе, примећује се сферична направа чији је однос обима и пречника по свим равнима—тачан цео број 3.

[уреди] π култура

Постоји цело поље хумористичког, али и озбиљног изучавања које укључује коришћење мнемоника за лакше памћење цифара π и зове се пифилологија. Погледајте Пи мнемонике за примере на енглеском језику.

14. март (3/14 у САД) је Пи дан којег просавља велики број љубитеља овог броја. 22. јула, прославља се Дан апроксимације броја пи (22/7 је популарна апроксимација).

Штавише, многи људи говоре и о "пи сати" (3:14:15 је мало мање од пи сати; 3:08:30 би било најближе броју π сати после поднева или поноћи у целим секундама).

Још један пример математичког хумора је следећа апроксимација π: Узмите број "1234", замените места првим двема и последњим двема цифрама, тако да број постаје "2143". Поделите тај број са "два-два" (22, па је 2143/22 = 97.40909...). Узмите дво-квадратни корен (четврти корен) од овог броја. Коначан резултат је изузетно близу π: 3.14159265.

[уреди] Види још

Грчко слово π
Калкулус
Геометрија
Тригонометријске функције
Пи кроз експеримент
Доказ да је π трансцедентно
Једноставан доказ да је 22/7 веће од π
Pi (филм)
Пи дан
Луси тјунинг

[уреди] Спољашње везе

[уреди] Цифре

Wikisource Пи до 1000 места | 10000 места | 100000 места | 1000000 места
Е-текст на Пројекту Гутенберг који садржи милион цифара Пи
Архиве броја Пи рачунатог до милион или десет милиона места
Search π—претражи и одштампај Пи до 400 милиона места
Статистике о првих 1.2 билиона цифара Пи
Банер који садржи приближно 220 милиона цифара пи

[уреди] Прорачуни

[уреди] Општи

[уреди] Мнемоници

(Сви мнемоници су на енглеском језику.)

Чланак Пи је пример међу сјајним чланцима.
Позивамо и Вас да напишете и предложите неки сјајан чланак.

Добављено из "http://sr.wikipedia.org../../../%D0%BF/%D0%B8/_/%D0%9F%D0%B8.html"

Категорије страница: Изабрани · Математика · Бројеви · Пи · Изабрани чланци на de.вики · Изабрани чланци на he.вики

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Пи