Решавање троугла

Из пројекта Википедија

Решавање троугла значи налажење преосталих углова и страница када је дат минимум података. Основни елементи троугла су три угла и три странице, а минимум података, чине три од тих основних елемента, од којих је најмање један страница. Наиме, када знамо два угла троугла тада можемо сматрати да знамо и трећи, јер је збир углова у троуглу увек исти, 180°. Међутим, троугао није одређен само својим основним елементима. Могуће је конструисати троугао дат тежишницом (медијаном) и двема страницама, или страницом, висином и углом, итд.

[уреди] Оштроугли троугао

Оштроугли троугао има сва три угла мања од испруженог (180 степени). При решавању оштроуглог троугла могућа су следећа четири случаја:

дате су три стране (ССС);
дате су две стране и угао између њих (СУС);
дата су два угла и страница између њих (УСУ);
дате су две стране и угао насупрот њима (ССУ).

То су они исти услови који дефинишу подударност троуглова. Размотрићемо сваки од ових задатака и навести бар по једну формулу за проверу добивеног решења.

Задатак ССС: Дате су три странице $a,\;b,\;c$ троугла. Наћи његове углове.
1. начин: Косинусна теорема $a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos A,$ даје угао А, јер $\cos A =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$ Синусна теорема $a :sin A = b :sin B$ даће даље угао B, јер је $\sin B=\frac{b\sin A}{a}.$ На крају, трећи угао С можемо наћи и као суплемент (суплементни углови се допуњавају до 180°) претходна два, тј. $C = 180 o - (A + B).$ Формула за проверу је $a : s i n A = c :sin C .$

2. начин: Прво израчунати полуобим $p=\frac{a+b+c}{2},$ затим разлике $p-a,\; p-b,\; p-c,$ и тангенсна теорема даће углове:; $\operatorname{tg}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\; \operatorname{tg}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}},\; \operatorname{tg}\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}.$; Формула за проверу је $A + B + C = 180 o .$

Овај задатак има јединствено решење једино ако су збирови по две од датих страница троугла већи од треће странице, тј. $a+b>c,\; b+c>a,\; c+a>b.$ Дакле, ако важи тзв. неједнакост троугла. Ако бар један од ових услова није испуњен онда уопште нема решења.

Задатак СУС: Дате су две стране $a,\; b\;(a>b)$ и угао С. Наћи страницу с и углове A, B.

Решење: Косинусна теорема даје страницу $c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}.$ Синусна теорема даће углове. Из a>b следи да је угао B оштар, па према томе прво тражимо $\sin B=\frac{b\sin C}{c},$ па налазимо угао B, а онда угао А који је суплементан угловима B, C, тј. $A = 180 o - (B + C).$ Формула за проверу: $a :sin A = b :sin B .$

Задатак има једниствено решење ако је $C < 180 o .$

Задатак УСУ: Дата је страница а и углови B и C. Наћи странице b, c и угао А.

Решење: Прво налазимо угао $A = 180 o - (B + C).$ Затим, синусна теорема два пута, даје: $b=\frac{a\sin B}{\sin A},\; c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$ Формула за проверу је $a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos A .$ Задатак има јединствено решење ако је $B + C < 180 o .$

Задатак ССУ: Дате су две странице a, b и угао А. Наћи страницу с и углове B, C.

Решење: Синусна теорема $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$ даће угао B. Затим, угао С налазимо као суплемент угловима А и B, тј. $C = 180 o - (A + B).$ На крају, још једном, синусна теорема $c=\frac{a\sin C}{\sin A},$ даје страницу с. Формула за проверу: $a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos A .$; Када је a>b тада је $a > b sin A,$ па је $\sin B=\frac{b\sin A}{a}<1.$ Према томе задатак има јединствено решење, јер је угао B оштар независно од тога какав је угао А.; Када је a<b тада је A<B. Троугао је правоугли, или, ако је $b sin A < a,$ задатак има два решења, јер се могу добити две вредности за угао B, оштар и туп угао. Трећи овај случај, $b sin A > a,$ тј. $sin B > 1,$ нема решење.; Када је a=b тада је A<90° и B<90°. Задатак тада има јединствено решење.