Inre produktrum

Wikipedia

Inom matematiken är ett inre produktrum ett vektorrum med ytterligare struktur; en inre produkt (kallas också skalärprodukt) är definierad, vilket gör det möjligt att införa geometriska begrepp såsom vinklar och längden på vektorer.

[redigera] Definition

Låt V vara ett vektorrum över en kropp K. K kommer i fortsättningen antingen vara $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$ . V är nu ett inre produktrum om det finns en funktion

$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbf{K}$

som är

symmetrisk med undantag för komplexkonjugering

$\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} \quad \forall x,y \in V$

detta innebär till exempel att $\langle x, x \rangle \in \mathbb{R}$

positivt definit:

$\langle x, x\rangle \geq 0, \langle x, x\rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0 \quad \forall x \in V$

eftersom $\langle x, x \rangle \in \mathbb{R}$ är detta väldefinierat.

linjär:

$\langle x_1 + x_2, y \rangle = \langle x_1, y \rangle + \langle x_2, y \rangle \quad \forall x,y \in V$

och

$\langle cx, y \rangle = c\langle x, y \rangle \quad \forall x,y \in V \quad \forall c \in K,$

Notera att denna definition för komplexa vektorrum innebär att den inre produkten är linjär i första variabeln, men antilinjär i den andra. Detta kallas ofta seskvilinjäritet. Detta är enbart en konvention, den inre produkten kan även definieras så att det omvända gäller. Oftast brukar man i matematiska sammanhang kräva linjäritet i första variabeln, medan man inom kvantfysik ofta vill ha linjäriteten i den andra variabeln.

Om $\langle x, y \rangle = 0$ sägs x och y vara ortogonala. Detta betecknas ofta som $x \perp y$ .

[redigera] Egenskaper

Det är lätt att visa att funktionen $|| \cdot ||: \mathbf{V} \rightarrow \mathbb{R}$ sådan att $||x|| = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ är en norm på V. Om $\mathbf{V}$ är fullständigt med avseende på metriken som ges av denna norm, kallas $\mathbf{V}$ för ett Hilbertrum.

För ett inre produktrum gäller följande välkända satser:

Cauchy-Schwarz olikhet: $\forall x,y \in V, \, \, |\langle x, y \rangle| \leq ||x|| \ ||y||$ . Likhet gäller om och endast om x och y är linjärt beroende.
Pythagoras sats: om $x \perp y$ så gäller $||x||^2 + ||y||^2 = ||x + y||^2 \,$

[redigera] Baser i inre produktrum

En bas $\{e_i\}_{i \in I}$ för ett inre produktrum sägs vara en ortogonal bas (eller ON-bas) om det för alla element i basen gäller att $\langle e_i, e_j\rangle = 0$ om $i \neq j$ och $\langle e_i, e_i\rangle = 1$ för alla i. Givet en bas för $\mathbf{V}$ kan en ortogonal bas fås genom Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess.