Арифметична прогресія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Арифметична прогресія це послідовність дійсних чисел, у котрій кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на фіксовану величину.

Якщо $a 0$ це перший член прогресії, $d$ це фіксована різниця між попереднім та наступним членами, що також називається різницею прогресії, то:

$\begin{matrix} a_j = a_0 + jd & ( j = 0, 1, 2, ... ) \end{matrix}$

Так для $a 0 = 1$ і $d = 2$ отримаємо таку послідовність: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

Сума арифметичної прогресії:

$\begin{matrix} s_n = \sum_{j=0}^n a_j = {n + 1 \over 2}(2a_0 + nd) = {n + 1 \over 2}(a_0 + a_n) \end{matrix}$

Сума перших n додатніх цілих чисел:

$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

відома також як трикутне число. Відома історія про те як Карл Ґаус відкрив цю формулу навчаючись у третьому класі: коли вчитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел, він відразу відповів що вона дорівнює 5050.