Факторіал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Факторіал натурального числа n - добуток натуральних чисел від одиниці до n включно, позначається n!.

$n! = 1\cdot 2\cdots n =\prod_{i=1}^n i$ .

За визначенням $0! = 1$ .

При великих n наближене значення факторіала задається формулою Стірлінга. Факторіал n дорівнює кількості перестановок з n елементів

Зміст

1 Факторіали деяких чисел
2 Властивості
- 2.1 Зв'язок з гама-функцією
- 2.2 Формула Стірлінга
3 Подвійний факторіал

[ред.] Факторіали деяких чисел

0! = 1
1! = 1
2! = 1·2 = 2
3! = 1·2·3 = 6
4! = 1·2·3·4 = 24
5! = 1·2·3·4·5 = 120

[ред.] Властивості

[ред.] Зв'язок з гама-функцією

Факторіал пов'язаний з гама-функцією від цілого аргумента співвідношенням:

n! = Γ(n + 1)

Таким чином, гама-функцію розглядають як узагальнення факторіала для додатніх дійсних чисел. Шляхом аналітичного продовження її також поширюють на всю комплексну площину, виключаючи особливі точкі.

[ред.] Формула Стірлінга

Формула Стірлінґа — одна з найвідоміших наближених формул для обчислення факторіала:

$n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3}+O\left(n^{-4}\right)\right)$

В багатьох випадках для наближеного значення факторіала досить розглядати лише головний член формули Стірлінга:

$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

при цьому можна стверджувати, що

$\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n < n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}$

[ред.] Подвійний факторіал

Подвійний факторіал числа n позначається n!! і визначається як добуток всіх парних (якщо n парне) або непарних (якщо n непарне) натуральних чисел до n включно. Таким чином,

$(2k)!! = 2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k k!$ $(2k+1)!! = 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k+1) = \prod_{i=1}^{k} 2i+1 = \frac{(2k+1)!}{2^k k!}$

За визначенням $0!! = 1$ .

Отримано від "http://uk.wikipedia.org../../../%D1%84/%D0%B0/%D0%BA/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB.html"

Категорія: Елементарна математика