Dãy (toán học)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, một dãy là một danh sách liệt kê các đối tượng/sự kiện được sắp xếp có thứ tự; nghĩa là trong dãy có một phần tử đứng trước tất cả các phần tử, còn các phần tử khác đứng trước một phần tử và đứng sau một phần tử nào đó.

Như vậy, từ dãy trong toán học có cùng nghĩa tương tự với từ "dãy" trong "dãy núi, dãy cây,...

Một dãy A được coi là khác dãy B nếu một trong các điều kiện sau đây xãy ra:

A có lực lượng tập hợp hay có số lượng phần tử khác B
A có phần tử không thuộc B hay ngược lại
A có phần tử được xếp trong một thứ tự khác với B hay ngược lại.

[sửa] Định nghĩa

Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp, dãy là một ánh xạ a: X $\to$ Y, trong đó X là tập hợp số tự nhiên, hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một số tự nhiên m nào đó. Khi đó thay cho a(n) ta dùng kí hiệu a_n.

a_n=a(n)

Nếu X là hữu hạn ta có dãy hữu hạn:

a_n1,...,a_n.

Ngược lại nó được xem là vô hạn.

a₁,a₂,...,a_n,...

Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn với các phần tử thừ thứ m trở đi là bằng nhau.

Nếu Y là tập hợp số, dãy a được gọi là dãy số. Nếu Y là tập các số thực ( hoặc phức) ta có dãy số thực (hoặc phức) Nếu Y là tập hợp các hàm số ta có dãy hàm. Nếy Y là tập hợp số tự nhiên ta có dãy số tự nhiên (ít dùng) Khi bắt đầu từ phần tử $a_{n_0}$ dãy thường được ký hiệu:

$(x_n)_{n \ge n_0 }$ với x_n là phần tử thứ n.

Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử $a 1$ .

$(x_n)_{n \ge 1 }$ với x_n là phần tử thứ n

[sửa] Dãy hữu hạn

Khi các phần tử của dãy nhận giá trị trong một tập hữu hạn n phần tử, các bài toán về dãy hữu hạn được xem xét trong toán học tổ hợp (với các khái niệm chỉnh hợp, hoán vị, dãy có lặp,...) gồm bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài toán tồn tại.

Bài toán đếm: đếm số các dãy (hữu han) của một tập hợp thoả mãn một hoặc một số tính chất nào đó.
Bài toán liệt kê:liệt kê toàn bộ các dãy (hữu hạn) của một tập hợp thoả mãn một hoặc một số tính chất nào đó.
Bài toán tòn tại: xét xem các dãy (hữu hạn) của một tập hợp thoả mãn một hoặc một số tính chất nào đó có tốn tại không?

[sửa] Dãy vô hạn

Khi các phần tử của một dãy vô hạn thuộc một không gian metric (trong không gian có khái niệm khoảng cách giữa hai phần tử) chẳng hạn các dãy số thực,dãy hàm hoặc không gian tôpô (trong đó có khái niệm lân cận) các bài toán về dãy liên quan tới khái niệm giới hạn, tính hội tụ, phân kỳ.

[sửa] Dãy trong khoa học học máy tính

Trong khoa học máy tính, khái niệm dãy (hữu hạn) thể hiện cụ thể thành các danh sách (tuyến tính), mảng, ngăn xếp, hàng đợi ... là những cấu trúc dữ liệu quan trọng. Các khái niệm về giải thuật, máy Turing cũng đều liên quan đến các dãy.