Sistema de coordenadas cartesianas

Fig. 1 - sistema de coordenadas cartesianas. Cuatro puntos se marcan: (2,3) en verde, (-3,1) en rojo, (-1,5, -2,5) en azul y (0,0), el origen, en amarillo.

Fig. 2 - sistema de coordenadas cartesianas con el círculo de radio 2 centrada en el origen marcado en rojo. La ecuación del círculo es x ² + y ² = 4.

En matemáticas , el sistema de coordenadas cartesianas (también llamado sistema de coordenadas rectangulares) se utiliza para determinar cada uno apuntar únicamente en un plano a través de dos números , por lo general llaman la coordenada x o abscisa y la coordenada o ordenada del punto. Para definir las coordenadas, dos perpendicular líneas dirigidas (el eje x, y el eje y), se especifican, así como la unidad de longitud, que está marcado fuera en los dos ejes (ver Figura 1). Sistemas de coordenadas cartesianas también se utilizan en espacio (donde se utilizan tres coordenadas) y en dimensiones superiores.

Usando el sistema de coordenadas cartesiano, geométricas formas (tales como curvas ) se pueden describir por algebraicas ecuaciones , es decir, ecuaciones satisfechas por las coordenadas de los puntos que se encuentran en la forma. Por ejemplo, el círculo de radio 2 puede ser descrita por la ecuación x ² + y ² = 4 (ver Figura 2).

Historia

Medios cartesianas relativas a la francesa matemático y filósofo René Descartes (latín: Cartesius), que, entre otras cosas, trabajó para combinar el álgebra y la geometría euclidiana . Este trabajo fue muy influyente en el desarrollo de la geometría analítica , cálculo , y cartografía.

La idea de este sistema fue desarrollado en 1637 en dos escritos de Descartes e independientemente por Pierre de Fermat , aunque Fermat no publicó el descubrimiento. En la segunda parte de su Discurso del método, Descartes introduce la nueva idea de especificar la posición de un punto u objeto sobre una superficie, el uso de dos ejes que se cruzan como guías de medición. En La Géométrie, explora aún más los conceptos antes mencionados.

Sistema de coordenadas bidimensional

Fig. 3 - Los cuatro cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesiano. Las flechas de los ejes indican que se extiendan por siempre en sus respectivas direcciones (es decir, infinitamente).

Un cartesiano sistema de coordenadas en dos dimensiones se define comúnmente por dos ejes, en ángulos rectos entre sí, que forman un plano (un plano xy xy). La eje horizontal está normalmente marcada x, y de la eje vertical es normalmente etiquetada y. En un sistema tridimensional de coordenadas, se añade otro eje, z normalmente marcado,, proporcionando una tercera dimensión de la medición de espacio. Los ejes se definen comúnmente como mutuamente ortogonales entre sí (cada uno en un ángulo recto a la otra). (Los primeros sistemas permiten ejes "oblicuo", es decir, los ejes que no cumplieron en ángulo recto, y estos sistemas se utilizan en ocasiones hoy, aunque en su mayoría como ejercicios teóricos.) Todos los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas tomados juntos forman una so- llamado plano cartesiano. Las ecuaciones que utilizan el sistema de coordenadas cartesianas se llaman ecuaciones cartesianas.

El punto de intersección, donde se encuentran los ejes, se llama el origen O normalmente marcado. El ejes X e Y definen un plano que se conoce como el plano xy. Dada cada eje, elija un unidad de longitud, y se marcan cada unidad a lo largo del eje, formando una cuadrícula. Para especificar un punto particular en un sistema de coordenadas bidimensional, indicar que la unidad x primero (eje de abscisas), seguido de la unidad y (ordenadas) en la forma (x, y), un par ordenado.

La elección de cartas proviene de una convención, para usar la última parte del alfabeto para indicar valores desconocidos. En contraste, se utilizó la primera parte del alfabeto para designar valores conocidos.

Un ejemplo de una punto P en el sistema se indica en la figura 3, utilizando la coordenada (3,5).

La intersección de los dos ejes crea cuatro regiones, llamadas cuadrantes, indicados por los números romanos I (+, +), II (-, +), III (-, -), y IV (+, -). Convencionalmente, los cuadrantes están etiquetados en sentido antihorario a partir de la parte superior derecha ("noreste") cuadrante. En el primer cuadrante, ambas coordenadas son positivos, en el segundo cuadrante x coordenadas x e y son negativos coordenadas x positivo, en el tercer cuadrante ambas coordenadas son negativos y en el cuarto cuadrante, x coordenadas x e y son positivos coordenadas x negativo ( ver tabla abajo).

Sistema de coordenadas tridimensional

Fig. 4 - Tres dimensiones del sistema de coordenadas cartesianas con eje y apuntando lejos del observador.

Fig. 5 - sistema de tres dimensiones de coordenadas cartesianas con el eje x apuntando hacia el observador.

La coordinar las superficies de las coordenadas cartesianas (x, y, z). El eje x z es vertical y el eje x se resalta en verde. Por lo tanto, el rojo plano muestra los puntos con x = 1, el azul plano muestra los puntos con z = 1, y el plano de color amarillo muestra los puntos con y = -1. Las tres superficies se cruzan en el punto P (mostrado como una esfera negro) con las coordenadas cartesianas (1.0, -1.0, 1.0).

El sistema tridimensional de coordenadas cartesianas ofrece las tres dimensiones físicas del espacio - Longitud, ancho y alto. Las figuras 4 y 5 muestran dos formas comunes de representar la misma.

Los tres ejes cartesianos que definen el sistema son perpendiculares entre sí. Las coordenadas relevantes son de la forma (x, y, z). Como ejemplo, la figura 4 muestra dos puntos representados en un sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones: P (3,0,5) y Q (-5, -5,7). Los ejes se representan en un "coordenadas mundo" orientación con la z eje y apuntando hacia arriba.

Las x -, Y -, y, z coordenadas x de un punto también pueden tomarse como las distancias desde el plano xy yz, xz plano xy, y plano xy xy, respectivamente. La Figura 5 muestra las distancias del punto P de los planos.

El xy -, yz -, y -planes xz dividir el espacio tridimensional en ocho subdivisiones conocidas como octantes, similares a los cuadrantes del espacio 2D. Mientras que las convenciones se han establecido para el etiquetado de los cuatro cuadrantes de la x - y plano, sólo el primer octante de espacio tridimensional está etiquetado. Contiene todos los puntos cuyas x, y, z las coordenadas son positivas.

La coordenada z se llama también aplicada.

Orientación e imparcialidad

En dos dimensiones

La regla de la mano derecha.

La fijación o la elección del eje x determina la del eje y hasta dirección. Es decir, el eje y es necesariamente el perpendicular al eje x a través del punto marcado 0 en el eje x. Pero hay una elección de cuál de las dos líneas de media sobre la perpendicular a designar como positivo y que como negativo. Cada una de estas dos opciones determina una orientación diferente (también llamado lateralidad) del plano cartesiano.

La forma habitual de orientar los ejes, con el positivo x eje y apunta hacia la derecha y el eje x positivo y apuntando hacia arriba (y el eje x ser el "primero" y el del eje y el "segundo" eje) se considera el positivo o la orientación estándar, también llamada la orientación diestro.

Una regla mnemotécnica comúnmente utilizado para definir la orientación positiva es la regla de la mano derecha. Colocar una mano un poco cerrada a la derecha en el plano con el pulgar hacia arriba, los dedos apuntan desde el eje x para el eje y, en un sistema de orientación positiva de coordenadas.

La otra manera de orientar los ejes está siguiendo la regla de la mano izquierda, colocando la mano izquierda en el avión con el pulgar apuntando hacia arriba.

Independientemente de la norma que se utiliza para orientar los ejes, al girar el sistema de coordenadas preservará la orientación. Cambio de la función de x e y se invertirá la orientación.

En tres dimensiones

Fig. 7 - La orientación de la mano izquierda se muestra a la izquierda, y la derecha entregó a la derecha.

Fig. 8 - El sistema diestro cartesiano de coordenadas que indica los planos de coordenadas.

Una vez que la x - se especifican y -axes Y, determinan la línea a lo largo de la cual los eje x z deben mentir, pero hay dos posibles direcciones en esta línea. Los dos posibles sistemas de coordenadas que resultan se llaman 'diestro' y 'zurdos'. La orientación estándar, donde el plano xy xy es horizontal y el eje x z apunta hacia arriba (y el x - y la del eje y formar un sistema de coordenadas de dos dimensiones de orientación positiva en el plano xy xy si se observa desde arriba del plano xy xy ) se llama diestro o positivo.

El nombre deriva de la regla de la mano derecha. Si el el dedo índice de la mano derecha apunta hacia adelante, la dedo medio se inclinó hacia el interior en un ángulo recto a ella, y la pulgar colocado en un ángulo recto a ambos, los tres dedos indican las direcciones relativas de la x -, y -, y -axes z en un sistema de mano derecha. El pulgar indica el eje x, el dedo índice el eje y y el dedo medio de la z eje x. Por el contrario, si el mismo se hace con la mano izquierda, una zurdos resultados del sistema.

La Figura 7 es un intento de que representa una izquierda y un sistema de mano derecha de coordenadas. Debido a que un objeto tridimensional se representa en la pantalla de resultado de dos dimensiones, la distorsión y la ambigüedad. El eje apuntando hacia abajo (a la derecha) es también la intención de apuntar hacia el observador, mientras que el eje "medio" tiene la intención de apuntar hacia afuera de observador. El círculo rojo es paralelo al plano xy xy horizontal e indica la rotación del eje y eje x a la Y (en ambos casos). De ahí la flecha roja pasa por delante del eje y la z.

Figura 8 es otro intento de que representa un sistema de mano derecha de coordenadas. Una vez más, existe una ambigüedad causada por proyectar el sistema de coordenadas tridimensionales en el plano. Muchos observadores consideran que la figura 8 como "voltear y salir" entre un cubo convexa y una "esquina" cóncava. Esto corresponde a las dos posibles orientaciones del sistema de coordenadas. Al ver la figura como convexa da un sistema zurdo de coordenadas. Así, la forma "correcta" para ver la Figura 8 es imaginar el eje x como apuntando hacia el observador y así ver una esquina cóncava.

En representación de un vector en la base estándar

Un punto en el espacio en un sistema de coordenadas cartesianas también puede ser representado por una vector, que puede ser pensado como una flecha que apunta desde el origen del sistema de coordenadas para el punto. Si las coordenadas representan posiciones espaciales (desplazamientos) es común para representar el vector desde el origen hasta el punto de interés como . En tres dimensiones, el vector desde el origen hasta el punto con coordenadas cartesianas a veces se escribe como:

donde , Y son vectores unitarios que apuntan en la misma dirección como el , Y ejes, respectivamente. Este es el representación cuaternión del vector, y fue introducido por Sir William Rowan Hamilton. Los vectores unitarios , Y se llaman los versors del sistema de coordenadas, y son los vectores de la base estándar en tres dimensiones.

Aplicaciones

Coordenadas cartesianas se utilizan a menudo para representar dos o tres dimensiones del espacio, pero también pueden ser usados para representar muchas otras cantidades (tales como masa, tiempo, fuerza, etc.). En tales casos, los ejes de coordenadas normalmente serán etiquetados con otras letras (como m, t, F, etc.) en lugar de x, y, z. Cada eje también puede tener diferente las unidades de medida asociadas con ella (tales como kilogramos, segundo, libras, etc.). También es posible definir sistemas de coordenadas con más de tres dimensiones para representar relaciones entre más de tres cantidades. Aunque los espacios de cuatro y de dimensiones superiores son difíciles de visualizar, el álgebra de coordenadas cartesianas se puede extender de manera relativamente fácil a cuatro o más variables, de modo que ciertos cálculos que implican muchas variables se pueden hacer. (Este tipo de extensión algebraica es lo que se utiliza para definir la geometría de los espacios de dimensiones superiores, las cuales pueden llegar a ser bastante complicado.) Por el contrario, a menudo es útil usar la geometría de coordenadas cartesianas en dos o tres dimensiones para visualizar las relaciones algebraicas entre dos o tres (quizás dos o tres de los muchos) variables no espaciales.