De sección cónica

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Tipos de secciones cónicas

Tabla de las cónicas, Cyclopaedia, 1728

En matemáticas , una sección cónica (o simplemente cónica) es una curva que se puede formar por la intersección de una cono (más precisamente, una circular derecha superficie cónica) con un plano . Las secciones cónicas fueron nombrados y estudiado ya en el año 200 aC, cuando Apolonio de Perga emprendió un estudio sistemático de sus propiedades.

Tipos de las cónicas

Los cinco tipos de cónicas son el círculo , hipérbola, elipse , parábola e hipérbola rectangular. El círculo y la elipse surgen cuando la intersección de cono y el plano es una curva cerrada . El círculo es un caso especial de la elipse en la que el plano es perpendicular al eje del cono. Si el avión está paralela a una línea generador del cono, la cónica se llama una parábola. Por último, si la intersección es una curva abierta y el plano no es paralela a las líneas del generador de cono, la figura es una hipérbola. (En este caso el plano se cruzan las dos mitades del cono, produciendo dos curvas separadas, aunque a menudo uno se ignora.)

Casos degenerados

Hay múltiples casos degenerados, en la que el plano pasa a través de la vértice del cono. La intersección en estos casos puede ser una línea recta (cuando el avión es tangencial a la superficie del cono); un punto (cuando el ángulo entre el plano y el eje del cono es mayor que este); o un par de líneas de intersección (cuando el ángulo es menor). También hay un degenerado en el que el cono es una cilindro (el vértice está en el infinito) que puede producir dos líneas paralelas.

Excentricidad

Elipse (e = 1/2), parábola (e = 1) y la hipérbola (e = 2) con foco fijo F y directriz.

Las cuatro condiciones que definen anteriormente se pueden combinar en una condición que depende de un punto fijo F (el foco), una línea L (la directriz) no contiene F y un número real no negativo e (la excentricidad). La sección cónica correspondiente consta de todos los puntos cuya distancia a F es igual a veces e su distancia a L. Para 0 <e <1 obtenemos una elipse, por e = 1 una parábola, y para e> 1 una hipérbola.

Para una elipse y una hipérbola, dos combinaciones enfoque DirectriX se pueden tomar, cada uno dando la misma elipse completa o hipérbola. La distancia desde el centro a la directriz es $a / e$ , Donde $un \$ es el semi-eje mayor de la elipse, o la distancia desde el centro hacia la parte superior de la hipérbola. La distancia desde el centro a un foco es $ae \$ .

En el caso de un círculo, la excentricidad e = 0, y uno se puede imaginar la directriz a ser infinitamente alejada del centro. Sin embargo, la afirmación de que el círculo está formado por todos los puntos cuya distancia es e veces la distancia a L no es útil, porque tenemos cero veces infinito.

La excentricidad de una sección cónica es así una medida de hasta qué punto se desvía de ser circular.

Para una dada $un \$ , Más cerca $e \$ es 1, la más pequeña es la semieje menor.

Coordenadas cartesianas

En el sistema de coordenadas cartesianas , el gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es siempre una sección cónica, y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación será de la forma

$Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 \;$ con $A \$ , $B \$ , $C \$ no todos cero.

entonces:

si , La ecuación representa una elipse (a menos que la cónica es degenerado, por ejemplo );
- si $A = C \$ y $B = 0 \$ , La ecuación representa un círculo ;
si $B ^ 2 - 4AC = 0 \$ , La ecuación representa una parábola;
si , La ecuación representa una hipérbola;
- si también tenemos $A + C = 0 \$ , La ecuación representa una hipérbola rectangular.

Tenga en cuenta que A y B son sólo coeficientes de los polinomios, no las longitudes de eje semi-mayor / menor que se definen en las secciones anteriores.

A través del cambio de las coordenadas de estas ecuaciones se pueden poner en formas estándar:

Círculo: $x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 \,$
Elipse: ${X ^ 2 \ over a ^ 2} {+ y ^ 2 \ over b ^ 2} = 1 \$ , ${X ^ 2 \ over b ^ 2} {+ y ^ 2 \ over a ^ 2} = 1 \$
Parábola: $y ^ 2 = 4AX \, \$
Hipérbola: ${X ^ 2 \ over a ^ 2} - {y ^ 2 \ over b ^ 2} = 1 \$ , ${X ^ 2 \ over a ^ 2} - {y ^ 2 \ over b ^ 2} = - 1 \$
Rectangular Hipérbola: $xy = c ^ 2 \$

Tales formas serán simétricas alrededor del eje x y para el círculo, elipse y la hipérbola simétrica alrededor del eje y.
La hipérbola rectangular sin embargo sólo es simétrico alrededor de las líneas $y = x \$ y $y = -x \$ . Por lo tanto su función inversa es exactamente la misma que su función original.

Estas formas estándar se pueden escribir como ecuaciones paramétricas,

Círculo: $(A \ cos \ theta, un \ sin \ theta) \,$ ,
Elipse: $(A \ cos \ theta, b \ sin \ theta) \,$ ,
Parábola: $(Un t ^ 2,2 t) \,$ ,
Hipérbola: $(A \ s \ theta, b \ tan \ theta) \,$ o $(\ Pm un \ cosh u, b \ senh u) \,$ .
Rectangular Hipérbola: $(Ct, {c \ over t}) \,$

Coordenadas homogéneas

En homogénea coordina una sección cónica se puede representar como:

$A_1x ^ 2 + A_2y ^ 2 + A_3z ^ 2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0.$

O en matriz de notación

$\ Begin {bmatrix} x & y & z \ end {bmatrix}. \ Begin {} bmatrix A_1 y B_1 y B_2 \\ B_1 y A_2 y B_3 \\ B_2 y B_3 y A_3 \ end {bmatrix}. \ Begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix} = 0.$

La matriz $M = \ begin {} bmatrix A_1 y B_1 y B_2 \\ B_1 y A_2 y B_3 \\ B_2 y B_3 y A_3 \ end {bmatrix}$ se llama la matriz de la sección cónica.

$\ Delta = \ det (M) = \ det \ left (\ begin {} bmatrix A_1 y B_1 y B_2 \\ B_1 y A_2 y B_3 \\ B_2 y B_3 y A_3 \ end {bmatrix} \ right)$ se llama el factor determinante de la sección cónica. Si Δ = 0, entonces la sección cónica se dice que es degenerado, esto significa que la sección cónica es de hecho una unión de dos líneas rectas. Una sección cónica que se cruza en sí es siempre degenerado, no obstante todo degeneran secciones cónicas se cruzan a sí mismos, si lo hacen no son líneas rectas.

Por ejemplo, la sección cónica $\ Begin {bmatrix} x & y & z \ end {bmatrix}. \ Begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 y 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}. \ Begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix} = 0$ reduce a la unión de dos líneas:

$\ {X ^ 2 - y ^ 2 = 0 \} = \ {(x + y) (xy) = 0 \} = \ {x + y = 0 \} \ taza \ {xy = 0 \}$ .

Del mismo modo, una sección cónica a veces se reduce a una línea (single):

$\ {X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 = 0 \} = \ {(x + y) ^ 2 = 0 \} = \ {x + y = 0 \} \ taza \ {x + y = 0 \} = \ {x + y = 0 \}$ .

$\ Delta = \ det \ left (\ begin {} bmatrix A_1 y B_1 \\ B_1 y A_2 \ end {bmatrix} \ right)$ se llama discriminante de la sección cónica. Si δ = 0, entonces la sección cónica es una parábola, si δ <0, se trata de una hipérbola y si δ> 0, se trata de una elipse . Una sección cónica es un círculo si δ> 0 y A = ₁ A _2, que es una hipérbola rectangular si δ <0 y A ₁ = -A _2. Se puede demostrar que en el plano complejo CP proyectiva ² dos secciones cónicas tienen cuatro puntos en común (si las cuentas de multiplicidad), por lo que no son nunca más de 4 puntos de intersección y siempre hay 1 punto de intersección (posibilidades: 4 puntos distintos de intersección, 2 puntos de intersección singulares y 1 puntos de intersección dobles, 2 puntos de intersección dobles, 1 singular punto de intersección y 1 con multiplicidad 3, 1 punto de intersección con la multiplicidad 4). Si existe al menos un punto de intersección con la multiplicidad> 1, entonces las dos secciones cónicas se dice que son tangentes . Si sólo hay un punto de intersección, que tiene multiplicidad 4, las dos secciones cónicas se dice que están osculador.

Además, cada línea recta interseca cada sección cónica dos veces. Si el punto de intersección es doble, la línea se dice que es tangente y se llama la línea tangente . Porque cada línea recta corta a una sección cónica dos veces, cada sección cónica tiene dos puntos en infinito (los puntos de intersección con la línea en el infinito). Si estos puntos son reales, la sección cónica debe ser una hipérbola, si son imaginaria conjugado, la sección cónica debe ser una elipse , si la sección cónica tiene un doble punto en el infinito es una parábola. Si los puntos del infinito son (1, i, 0) y (1, -i, 0), la sección cónica es un círculo . Si una sección cónica tiene un real y un punto imaginario en el infinito o tiene dos puntos imaginarios que no están conjugados no es ni una parábola ni una elipse ni una hipérbola.

Coordenadas polares

En coordenadas polares , una sección cónica con un foco en el origen y, en su caso, el otro en el eje x, está dado por la ecuación

$r = {l \ over {1 + e \ cos \ theta}}$ ,

donde $e \,$ es la excentricidad y $l \,$ es el recto semi-latus (ver abajo).

Como anteriormente,

para $e \, = 0$ , Tenemos un círculo,

para $0 <e \, <1$ obtenemos una elipse,

para $e \, = 1$ una parábola,

y para $e \,> 1$ una hipérbola.

Parámetros

Varios parámetros pueden estar asociados con una sección cónica.

sección cónica	ecuación	excentricidad (e)	excentricidad lineal (c)	recto semi-latus (l)	parámetro focal (p)
círculo	$x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 \,$	$0$	$0$	$r \,$	$\ Infty$
elipse	$\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1$	$\ Frac {\ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}} {a}$	$\ Sqrt {a ^ 2-b ^ 2}$	$\ Frac {b ^ 2} {a}$	$\ Frac {b ^ 2} {\ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}}$
parábola	$y ^ 2 = 4AX \,$	$1$	$un$	$2a \,$	$2a$
hipérbola	$\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1$	$\ Frac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} {a}$	$\ Sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}$	$\ Frac {b ^ 2} {a}$	$\ Frac {b ^ 2} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}$

parámetros cónicas en el caso de una elipse

Para cada sección cónica, existe un punto fijo F, una línea L fijo y un número no negativo e de tal manera que la sección cónica consiste en todos los puntos cuya distancia a F es igual a su distancia e a L. e se llama excentricidad de la sección cónica.

La excentricidad lineal (c) es la distancia entre el centro y la enfoque (o uno de los dos focos).

El lado recto (2l) es la cuerda paralela a la directriz y que pasa por el foco (o uno de los dos focos).

El recto semi-latus (l) es la mitad del lado recto.

El parámetro focal (p) es la distancia desde el foco (o uno de los dos focos) a la directriz.

La relación $p = l / e$ sostiene.

Propiedades

Las secciones cónicas son siempre "suave". Más precisamente, nunca contienen ninguna puntos de inflexión. Esto es importante para muchas aplicaciones, tales como la aerodinámica, donde se requiere una superficie lisa para asegurar flujo laminar y para evitar turbulencia.

Aplicaciones

Las secciones cónicas son importantes en astronomía : la órbitas de dos objetos masivos que interactúan de acuerdo con la ley de la gravitación universal de Newton son secciones cónicas si su común centro de masa se considera que está en reposo. Si ellos están unidos entre sí, que ambos trazar elipses; si se están separando, van a seguir tanto parábolas o hipérbolas. Ver problema de dos cuerpos.

En la geometría proyectiva, las secciones cónicas en el plano proyectivo son equivalentes entre sí hasta transformaciones proyectivas.

Para aplicaciones específicas de cada tipo de sección cónica, vea los artículos círculo , elipse , parábola, y hipérbola.

La intersección de dos cónicas

Las soluciones a un sistema de dos ecuaciones de segundo grado en dos variables pueden ser vistos como las coordenadas de las intersecciones de dos secciones cónicas genéricos. En particular dos cónicas pueden poseer ninguna, dos, cuatro puntos de intersección posiblemente coincidentes. El mejor método para localizar estas soluciones es que se aprovechen de la homogénea representación matricial de las secciones cónicas, es decir, un 3x3 matriz simétrica que depende de seis parámetros.

El procedimiento para localizar los puntos de intersección sigue estos pasos:

dadas las dos cónicas $C_1$ y $C_2$ considerar el lápiz de las cónicas dada por su combinación lineal $\ Lambda C_1 + \ mu C_2$
identificar los parámetros homogéneos $(\ Lambda, \ mu)$ que corresponde a la cónica degenerada del lápiz. Esto se puede hacer mediante la imposición de que $det (\ lambda C_1 + \ mu C_2) = 0$ , Que resulta ser la solución a una ecuación de tercer grado.
dado el cono degenerada $C_0$ , Identificar los dos, posiblemente coincidente, las líneas que lo constituyen
intersecta cada línea identificada con uno de los dos cónica inicial; este paso se puede hacer de manera eficiente utilizando la representación dual cónica de $C_0$
los puntos de intersección representarán la solución del sistema de ecuaciones inicial

Esferas de Dandelin

Ver Esferas de Dandelin para un argumento primaria corto mostrando que la caracterización de estas curvas como intersecciones de un plano con un cono es equivalente a la caracterización, en términos de focos, o de un enfoque y una directriz.

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