Espacio de probabilidad

La definición del espacio de probabilidad es la base de la teoría de probabilidades . Fue introducido por Kolmogorov en el 1930. Para una alternativa algebraica para el enfoque de Kolmogorov, consulte álgebra de variables aleatorias.

Definición

Un espacio de probabilidad es un espacio de medida con una P medida que satisface la axiomas de probabilidad.

El espacio muestral es un no vacío conjunto cuyos elementos son conocidos como los resultados o estados de la naturaleza y, a menudo se les da el símbolo El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se conoce como el espacio muestral del experimento.

Eventos

El segundo elemento, , Es un σ-álgebra de subconjuntos de . Sus elementos son llamados eventos, que son conjuntos de resultados para los cuales se puede pedir una probabilidad.

Porque es una σ-álgebra, contiene ; Asimismo, el complemento de cualquier evento es un evento, y la unión de cualquier secuencia de eventos (finito o infinito numerable) es un evento.

Por lo general, los eventos son el Lebesgue-medible o Conjuntos de Borel-medibles de los números reales.

Medida de probabilidad

La medida de probabilidad es una función de a los números reales que asigna a cada evento una probabilidad entre 0 y 1. Debe satisfacer la axiomas de probabilidad.

Porque es una función definida en y no en , No se requiere que el conjunto de eventos que la completa poder configurar el espacio de la muestra; es decir, no cada conjunto de resultados es necesariamente un evento.

Cuando más de una medida está en discusión, medidas de probabilidad se escriben a menudo en pizarra negrita para distinguirlas. Cuando sólo hay una medida de probabilidad en discusión, a menudo se denota por Pr, que significa "probabilidad de".

Conceptos relacionados

Distribución de probabilidad

Cualquier distribución de probabilidad define una medida de probabilidad.

Variables aleatorias

Una variable aleatoria X es una función medible del espacio muestral ; a otro espacio medible llamado el espacio de estados.

Si X es una bienes de valor variable aleatoria, entonces la notación es la abreviatura de , Asumiendo que es un evento.

Probabilidad condicional

La definición de Kolmogorov de los espacios de probabilidad da lugar al concepto natural de probabilidad condicional. Cada conjunto con una probabilidad distinta de cero (es decir, P (A)> 0) define otra medida de probabilidad

en el espacio. Esto normalmente se lee como la "probabilidad de B dado A".

Independencia

Dos eventos A y B se dice que son independiente si P (A ∩ B) = P (A) P (B).

Dos variables aleatorias, X e Y, se dice que son independientes si cualquier evento definido en términos de X es independiente de cualquier evento definido en términos de Y. Formalmente, generan σ-álgebras independiente, donde dos σ-álgebras G y H, que son subconjuntos de F se dice que son independientes si todo elemento de G es independiente de cualquier elemento de H.

El concepto de independencia es donde la teoría de probabilidades se aparta de medir teoría.

La exclusividad mutua

Dos eventos A y B se dice que son mutuamente excluyentes o disjuntos si P (A ∩ B) = 0. (Esto es más débil que A ∩ B = ∅, que es la definición de disjunta de conjuntos).

Si A y B son sucesos disjuntos, entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Esto se extiende a una secuencia de eventos (finito o infinito numerable). Sin embargo, la probabilidad de la unión de un conjunto numerable de los acontecimientos no es la suma de sus probabilidades. Por ejemplo, si Z es una distribución normal variable aleatoria, entonces P (Z = x) es 0 para cualquier x, pero P (Z es real) = 1.

El suceso A ∩ B se conoce como A y B, y el suceso A ∪ B como A o B.

Ejemplos

Primer ejemplo

Si el espacio se refiere a una cara de una moneda, entonces los resultados son cara y cruz:

Los eventos son

• {H}: cabezas,
• {T}: colas,
• {}: Ni jefes ni colas, y
• {H, T}: cara o cruz.

Por lo tanto,

Hay una probabilidad del cincuenta por ciento de lanzar cara o cola: P ({H}) = P ({T}) = 0,5. La posibilidad de lanzar ni es cero: P ({}) = 0, y la posibilidad de lanzar una o la otra es una: P ({H, T}) = 1.

Segundo ejemplo

Si 100 votantes han de ser extraído al azar de entre todos los votantes en California y le preguntó quién van a votar para gobernador, entonces el conjunto de todas las secuencias de 100 californianos califican sería el espacio muestral Ω.

El conjunto de todas las secuencias de 100 votantes californianos en los que al menos el 60 votarán por Schwarzenegger se identifica con el "caso" de que al menos 60 de los 100 votantes elegidos serán tan votar.

Luego, contiene: (1) el conjunto de todas las secuencias de 100, donde al menos 60 votos para Schwarzenegger; (2) el conjunto de todas las secuencias de 100 en menos de 60 votos para Schwarzenegger (el inverso de (1)); (3) el espacio muestral Ω como anteriormente; y (4) el conjunto vacío.

Un ejemplo de una variable aleatoria es el número de electores que votarán por Schwarzenegger en la muestra de 100.