Geometria
De Viquipèdia
La Geometria (etimologia del Grec γεωμετρία; geo = terra, metria = mesura) és la branca del coneixement que s’ocupa dels objectes o figures i de les seves relacions en l'espai, es a dir: distància, posició, superfície, volum, forma, desplaçament, projecció, representació, etc. Fou un dels dos camps de les matemàtiques clàsiques, essent l’altre camp, l’aritmètica o estudi dels nombres.
A l’Edat Moderna, el filòsof Descartes reformulà el concepte de coordenades cartesianes, el qual donà pas a la geometria analítica que va introduïr els metòdes de càlcul algebraics en la geometria. Actualment, els conceptes geomètrics s’han generalitzat fins assolir un elevat grau d’abstracció i complexitat, conseqüentment podem parlar d'una geometria tradicional o clàssica, que és la que tothom coneix ja que és la que s'ensenya a les escoles primàries. Les altres geometries, en general, són disciplines fonamentades, en part, en els conceptes en certa forma intuitius, de la geometria clàssica a partir dels quals es formulen altres hipòtesis, es dessenvolupen mètodes alternatius o s'estableixen vinculacions amb altres disciplines o conceptes.
La geometria clàssica és la que s'ocupa de les figures i objectes que existeixen o podem imaginar tant en el pla com en l'espai així com de les seves principals relacions, aplicacions, extensions, etc., com són :
-
- La forma de les figures, la seva generació i paràmetres.
- Per exemple: la circumferència es defineix com una corba tancada i plana, els punts de la qual equidisten d'un punt anomenat centre.
-
- Les mesures sobre o de les figures com són la superfície, el volum o altres.
- Com exemple tenim el volum de l'esfera segons la següent expressió:
-
- Les operacions entre figures o a partir de les figures com: paral·lelisme, perpendicularitat, simetria, homologia, unió, intersecció, etc.
-
- Les aplicacions a la resolució de problemes entre figures o a partir de les figures com: trobar tangents comuns a dos circumferències, trobar la projecció sobre un pla, etc.
-
- Entre les aplicacions notables hi ha la resolució de triangles, on a partir d'un costat i dos angles o altre costat i un angle o dels tres costats, es poden deduïr els altres costats i angles. Aquesta aplicació és la base de la Geodesia i de la Topografia.
La geometria clàssica és Euclidiana, anomenada així en honor del matemàtic grec Euclides qui formulà el famós cinquè postulat o postulat d'Euclides, en el qual es basa aquesta ciència.
[edita] Classes de geometria
- Geometria plana: és la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en el pla. Els elements físics plans, es a dir, amb una dimensió reduïda front a les altres dos, com per exemple: una paret o un paviment, una pàgina d'un llibre o el full d'un bloc, etc., constitueixen el suport de l'espai de dos dimensions on es dessenvolupa aquesta geometria.
- Geometria de l'espai: és la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en l'espai de tres dimensions, es a dir, l'espai físic del qual en tenim una experiència intuitiva directa.
- Geometria descriptiva: és una aplicació de la geometria clàssica que te per objecte representar sobre un o més plans, les figures de l'espai. Va néixer per satisfer la necesitat de representar sobre un full de paper (o qualsevol suport bidimensional). els plànols o dibuixos dels projectes dels edificis o les obres públiques així com els enginys, les màquines,etc., els quals són objectes de tres dimensions. Els mètodes de la geometria descriptiva permeten, a partir dels plànols, deduïr i per tant construir amb seguretat allò que s'ha dibuixat, amb la seva forma, mesures i totes les relacions geomètriques per complexes que siguin.
- Geometria analítica: és la part de les matemàtiques que fa ús de l'àlgebra per descriure i estudiar les figures geomètriques i les seves relacions. La geometria analítica es basa en la correspondència biunívoca que es pot establir entre el conjunt de nombres reals i el conjunt de punts d'una recta. Conseqüentment, dos o tres rectes perpendiculars, representen els eixos d'un sistema de coordenades cartesianes al pla o a l'espai de tres dimensions respectivament. Les equacions algebraiques de dos o tres variables representen corbes planes (p.ex: l'elipse) o a l'espai (corbes de tres dimensions com l'hèlix) o figures tridimensionals com el cilindre o el paraboloide hiperbòlic.
- Geometria d'ena dimensions: el concepte d'espai de ena dimensions neix en aplicar la correspondencia entre l'àlgebra i la geometria, propia de la geometria analítica, a les equacions algebraiques de mes de tres variables, la qual cosa, per analogia conceptual implica un espai de tantes dimensions com variables te l'equació estudiada. La part científica d'aquesta disciplina, va des de la geometria de quatre dimensions que fonamenta la Teoria de la relativitat, fins la Teoria de les cordes amb les seves onze o vint-i-tres dimensions i es contraposa amb una variant mes lúdica que s'ha dessenvolupat ampliament en la literatura, els còmics i el cinema de ciencia ficció.
- Geometria diferencial i Geometria algebraica: tenen per objecte l'estudi de les corbes i superfícies definides per les equacions algebràiques. Aquestes geometries no s'ocupen tant de l'espai o el pla, que són el suport de la geometria analítica, com de les propies corbes considerades per elles mateixes, en les quals cerquen els punts singulars (màxims, mínims o puts d'inflexió, etc.) i els invariants de les transformacions. La geometria algebraica, mitjançant el llenguatge espectral permet obtenir una visió geomètrica dels problemes algèbrics.
- Geometries no euclidianes: a partir del segle XIX, alguns matemàtics neguen el cinquè postulat d'Euclides i parteixen de que hi ha mes d'una recta paral·lela que pasi per un punt exterior d'una recta. Aixó permetè formular una serie de conceptes geomètrics coherents on, per exemple, la suma dels angles d'un triàngle és menor que l'arc de la semicircumferència (180º). Aquestes teories tant sorprenents, van modificar molt la comprensió del paper de les matemàtiques, en postular la geometria com un esquema formal sense referència inmediata en l'espai físic. Les geometries hiperbòlica (amb dos paral·leles) o l'elíptica (sense paral·leles) foren antecedents d'aquestes formulacions.
- Geometria projectiva: el batibull generat per l'irrupció de les geometries no euclidianes, fou aclarit l'any 1872 pel matemàtic C.F. Klein en el Programa de Erlangen [1] segons el qual, la Geometria es la branca de la Matemàtica que estudia els invariants i el conjunt de les transformacions que tenen lloc en l'espai base. Un grup és un conjunt en el qual hi ha definida una operació, es a dir, una aplicació on a cada parell d'elements del conjunt li assigna altre element del conjunt (que serà el resultat d'operar els dos elements donats). Por exemple, l'operació de donar el punt mig, consisteix en assignar a cada parell de punts el punt mig del segment que els uneix. Per succesives especialitzacions del grup hom obté la geometria afí la geometria mètrica i les no euclidianes, aixó fa que la geometria projectiva es considerada, a dia d'avuí, com la geometria bàsica.
