Geometrický průměr
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Geometrický průměr je statistická veličina, která udává v jistém smyslu typický koeficient v souboru koeficientů. Geometrický průměr souboru dat 
je definován jako ![\left( a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^{\frac{1}{n}}](../../../math/0/9/c/09c485f83a8a5dee3e2cccf2d9d6e117.png)
, tzn. n-tá odmocnina součinu všech hodnot. Je zřejmé, že geometrický průměr má smysl jen pro data, ve kterých jsou všechny hodnoty kladná čísla.
Geometrický průměr se narozdíl od aritmetického průměru používá na koeficienty, např. pro výpočet průměrného růstu: pokud růst cen byl postupně 20 %, 10 %, poté 15 % pokles a 10 % růst, pak průměrný růst je roven (1,20 · 1,10 · 0,85 · 1,10)1/4 ≅ 1,054, tzn. průměrný růst je přibližně 5,4 %. Toto číslo vyjadřuje, že výsledná cena by taková byla i v případě, že by růst byl konstantní, každý rok 5,4 % (neboť 1,0544 ≅ 1,2 · 1,1 · 0,85 · 1,1).
Geometrický průměr je vždy menší nebo roven aritmetickému průměru stejného souboru dat (a roven je mu jen v případě, že jsou všechny hodnoty v souboru stejné). To umožňuje definovat aritmeticko-geometrický průměr, který vždy leží mezi aritmetickým a geometrickým průměrem.
[editovat] Aritmetický průměr logaritmů
Geometrický průměr je definován jako
Při použití logaritmů je možné součiny změnit na součty a umocňování na součin:
![\exp\left[\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right]](../../../math/c/4/4/c440a8b56d90b6e8879c4016ea56761d.png)
Tento vzorec popisuje aritmetický průměr logaritmů dat, na který je poté aplikováno umocnění. To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako zobecněný průměr s transformací f(x) = ln x.
[editovat] Podívejte se také na
- Aritmetický průměr
- Medián
- Modus
- Logaritmicko-normální rozdělení
- Nerovnost aritmetického a geometrického průměru
