Arithmetisch-geometrisches Mittel

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In der Mathematik bezeichnet man als arithmetisch-geometrisches Mittel zweier positiver reeller Zahlen eine gewisse Zahl, die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel liegt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Einfaches Beispiel
3 Einfache Eigenschaften
4 Wichtige Eigenschaften
5 Historisches
6 Verfahren von Salamin und Brent
- 6.1 Zahlenbeispiel
7 Beziehung zu elliptischen Integralen
8 Weblinks

[Bearbeiten] Definition

Es seien $a$ und $b$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Ausgehend von ihnen werden induktiv zwei Folgen $(a n)$ und $(b n)$ mit $a 0 = a$ , $b 0 = b$ definiert:

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2$ (arithmetisches Mittel)

$b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$ (geometrisches Mittel)

Die Folgen $(a n)$ und $(b n)$ konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert $M (a, b)$ , der als arithmetisch-geometrisches Mittel von $a$ und $b$ bezeichnet wird.

[Bearbeiten] Einfaches Beispiel

Sei $a_{0} = 4,0000\,$ und $b_{0}=9,0000\,$ . Dann ist

$a_{1}=\frac{4+9}2=6{,}5000$ und $b_{1}=\sqrt{4\cdot9}=6,0000$

$a_{2}=6{,}2500\,$ und $b_{2}\approx 6{,}2450\,$

$a_{3}\approx b_{3}\approx M(a,b)\approx 6{,}2475\,$

[Bearbeiten] Einfache Eigenschaften

Für zwei nichtnegative Werte $a$ und $b$ gilt:

$M(a,b)=M(b,a)\,$
$M(ta,tb)=t\cdot M(a,b)$ für $t\geq0$
$\min\{a,b\}\leq\sqrt{ab}\leq M(a,b)\leq\frac{a+b}2\leq\max\{a,b\}$ ; Gleichheit gilt dabei genau für $a = b$ .
$M(a,b)=M\bigg(\frac{a+b}2,\sqrt{ab}\bigg)$

[Bearbeiten] Wichtige Eigenschaften

Monotonie: Für zwei positive Startwerte $0 < a 0 < b 0$ gilt nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stets auch $a n < b n$ . Die Folge $a 0, a 1, a 2,...$ wächst monoton gegen den Grenzwert $M (a, b)$ und die Folge $b 0, b 1, b 2,...$ fällt monoton gegen den Grenzwert $M (a, b)$ . Oder anders formuliert:

$a_0<a_1<a_2<...<a_n<a_{n+1}<M(a,b)<...<b_{n+1}<b_n<...<b_1<b_0 \,$

Konvergenzgeschwindigkeit: Sei $c_n := \sqrt{{a}_{n}^{2}{b}_{n}^{2}}$ . Wegen der Abschätzung

$c_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n-b_n) = \frac{{c}_{n}^{2}}{4{a}_{n+1}} \leq \frac{{c}_{n}^{2}}{M(a,b)}$ liegt ein Verfahren mit quadratischer Konvergenz vor.

[Bearbeiten] Historisches

Das arithmetisch-geometrische Mittel wurde unabhängig voneinander von den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und zuvor schon von Adrien-Marie Legendre entdeckt. Sie nutzten es, um die Bogenlänge von Ellipsen, d.h. also elliptische Integrale, näherungsweise zu berechnen. Gauß etwa notierte die Gleichung

$\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2})} = \int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^4}}$

in seinen mathematischen Tagebüchern.

[Bearbeiten] Verfahren von Salamin und Brent

Das nachfolgende Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl $π$ wurde 1976 unabhängig voneinander von Richard Brent und Eugene Salamin publiziert. Es nutzt wesentlich die Erkenntnisse von Gauß über das arithmetisch-geometrische Mittel. Gauß bemerkte zu seiner Zeit allerdings nicht, dass sich damit auch ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Zahl $π$ konstruieren lässt. Dennoch wird das Verfahren oft auch als Methode von Gauß, Brent und Salamin bezeichnet.

Die Schritte des Verfahrens können folgendermaßen beschrieben werden:

Initialisierung: Man verwendet als Startwerte

$a_0 = 1\qquad b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\qquad s_0 = \frac{1}{2}\qquad$

Schleife: Für $n = 1,2,...$ berechnet man

$a_{n} = \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2} \,$

$b_{n} = \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}} \,$

$c_{n} = a_{n}^2 - b_{n}^2 \,$

$s_{n} = s_{n-1} - 2^{n}c_{n} \,$

$p_{n} = \frac{2a_{n}^2}{s_{n}} \,$

Die Folge der $(p n)$ konvergiert quadratisch gegen $π$ , d.h. mit jedem Durchlaufen der Schleife verdoppelt sich etwa die Zahl der korrekt berechneten Ziffern. Damit konvergiert dieser Algorithmus deutlich schneller gegen $π$ als viele klassische Verfahren.

[Bearbeiten] Zahlenbeispiel

Mit den Startwerten

$a_0 = 1\qquad b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}=0{,}707106781186547\qquad s_0 = \frac{1}{2}=0{,}5\qquad$

berechnet man rekursiv:

Index $n$	$a n$	$b n$	$c n$	$s n$	$p n$
$n = 0$	1	0,70710 67811 86547		0,5
$n = 1$	0,85355 33905 93274	0,84089 64152 53715	0,02144 66094 06726	0,45710 67811 86547	3,18767 26427 12110
$n = 2$	0,84722 49029 23494	0,84720 12667 46891	0,00004 00497 56187	0,45694 65821 61801	3,14168 02932 97660
$n = 3$	0,84721 30848 35193	0,84721 30847 52765	0,00000 00001 39667	0,45694 65810 44462	3,14159 26538 95460