Erste Näherung

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Die erste Näherung ist ein vor allem in der Physik oft verwendeter Begriff zur Abschätzung des Verhaltens einer untersuchten Größe in Abhängigkeit von einer Variable.

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Definition
2 Praktische Anwendung
3 Variationen
4 Beispiele
5 Siehe auch

[Bearbeiten] Mathematische Definition

Die erste Näherung einer Funktion besteht aus den ersten beiden Gliedern ihrer Taylorentwicklung. Formal ist die Voraussetzung für die Möglichkeit einer Taylorentwicklung die unendliche stetige Differenzierbarkeit der Funktion, der Begriff der ersten Näherung wird jedoch oft ohne Rücksicht auf diese Einschränkung verwendet (siehe auch nächster Abschnitt).

Die Taylorreihe einer Funktion $f: \mathbf{I} \to \mathbb{R}, \mathbf{I} \subset \mathbb{R}$ ist gegeben durch

$f(x)=\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{f'(a)}{n!} (x-a)^n$

wobei a ein Element von I, der Entwicklungspunkt ist. Im Kontext der ersten Näherung wählt man a oft zu 0 (oder führt eine Variablentransformation durch, die den selben Effekt hat). Die erste Näherung von f ist dann

$f(x)=f(a)+f'(a) \cdot x$

[Bearbeiten] Praktische Anwendung

In der naturwissenschaftlichen Umgangssprache wird der Begriff der ersten Näherung oft recht locker gehandhabt und bezieht sich gelegentlich nicht einmal auf die oben beschriebene Definition. Im engeren Sinne wird sie, vor allem in schriftlichen Veröffentlichungen, jedoch durchaus als ernsthafter stehender Begriff verwendet und liefert hier eine grobe Vorstellung vom Verhalten einer Funktion. Natürlich ist die Qualität dieser Abschätzung stark abhängig von der Konvergenz der Taylorentwicklung!

[Bearbeiten] Variationen

Vor allem im Kontext schriftlicher Veröffentlichungen kann die erste Näherung sich auch auf das erste nichtverschwindende Glied (wobei von null an gezählt wird) der Taylorentwicklung beziehen. So wäre die erste Näherung von $f = x 2$

$\mathcal{T}(x)=\frac{0}{1}+\frac{2\cdot 0}{1}\cdot x + \frac{2}{2} x^2=x^2$

also bereits die völlig konvergierte Näherung.

[Bearbeiten] Beispiele

Formal korrekt:

Der Gewichtungsfaktor des Elektrons hat aus Sicht der Diractheorie der relativistischen Quantenmechhanik in erster Näherung des nichtrelativistischen Grenzfalls den Wert g=2.