Kugeldreieck

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Ein Kugeldreieck oder sphärisches Dreieck ist in der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie) ein Teil einer Kugeloberfläche, der von drei Großkreisbögen begrenzt wird. Als Ecken des Kugeldreiecks werden die Punkte bezeichnet, in denen je zwei dieser Großkreise zusammenstoßen.

Ähnlich wie bei Dreiecken in der ebenen Geometrie spricht man von den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Allerdings versteht man unter der Länge einer Seite nicht etwa die Länge des Kreisbogens, sondern den zugehörigen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel). Eine Seite, die also beispielsweise einem Viertel des Kugel- und Großkreisumfangs entspricht, hat die Länge 90°. Die Innenwinkel (an den drei Ecken) sind definiert durch die Tangenten der Seiten – also die Schnittwinkel zwischen den Ebenen, in denen die begrenzenden Großkreisbögen liegen.

Inhaltsverzeichnis 1 Eulersche Kugeldreiecke 2 Eigenschaften sphärischer Dreiecke 2.1 Flächeninhalt 2.2 sphärischer Exzess (Innenwinkelsumme im Kugeldreick) 2.3 Seitensumme 2.4 Kongruenzsätze 2.5 Seiten- und Winkelverhältnisse 3 Siehe auch

[Bearbeiten] Eulersche Kugeldreiecke

Meist schränkt man den Begriff des Kugeldreiecks ein auf eulersche Kugeldreiecke (benannt nach Leonhard Euler), d. h. auf Kugeldreiecke, in denen alle Seiten und Winkel kleiner als π /bzw. 180°) sind. Ohne diese Einschränkung gäbe es zu drei beliebigen Punkten der Kugeloberfläche mehrere Kugeldreiecke.

[Bearbeiten] Eigenschaften sphärischer Dreiecke

[Bearbeiten] Flächeninhalt

Der Flächeninhalt A_D eines Kugeldreiecks lässt sich aus den Winkeln α,β und γ des Dreiecks (im Bogenmaß) und dem Kugelradius r berechnen:

Dieser Zusammenhang leitet sich folgendermaßen her:

Die drei durch die Eckpunkte eines Dreiecks ABC bestimmten Geraden unterteilen die Kugeloberfläche in acht Dreiecke bzw. vier Gegendreieckspaare. Das in der Abbildung grün eingefärbte Dreieck bildet mit dem gelb eingefärbten Dreieck ABC ein Zweieck mit dem Öffunungswinkel β. Die blau und rot eingefärbten Dreiecke bilden mit dem Gegendreieck A’B’C’ Zweiecke mit den Öffnungswinkeln α bzw. γ.

Für die Flächeninhalte der Zweiecke gilt:

(Analog für die Zweiecke mit den Öffnungswinkeln β und γ.)

Für die Flächeneinhalte A_b des blauen, A_g des grünen und A_r des roten Dreiecks gilt:

A_b = A_α − A_D

A_g = A_β − A_D

A_r = A_γ − A_D

Zusammen mit dem gelben Gegendreieck A’B’C’ füllen das blaue, das gelbe und das rote Dreieck die Hälfte der Kugeloberfläche aus:

Setzt man (I) ein, ergibt sich:

= A_α + A_β + A_γ − 2A_D

Mit den Gleichungen zur Berechnung der Kugeloberfläche und der Kugelzweiecke erhält man:

Für A_D ergibt sich also:

A_D = αr² + βr² + γr² − πr²

Auf der Einheitskugel mit dem Radius 1 gilt also:

A_D = α + β + γ − π

Die Summe (α + β + γ) − π wird als sphärischer Exzess bezeichnet.

[Bearbeiten] sphärischer Exzess (Innenwinkelsumme im Kugeldreick)

Die Innenwinkelsumme im Kugeldreieck ist im Gegensatz zum euklidischen Dreieck nicht konstant ( = π). Für sie gilt bei allgemeinen sphärischen Dreiecken:

π < α + β + γ < 5π bzw.

In eulerschen Dreiecken gilt:

π < α + β + γ < 3π bzw.

Dies folgt aus der Gleichung für den Flächeninhalt eines Kugeldreiecks A_D, der größer als Null und kleiner als die Gesamtoberfläche der Kugel ist:

0 < A_D < 4πr²

Da für eulersche Dreiecke gefordert wird, dass alle Winkel kleiner als π (bzw. 180°) sind, kann die Innenwinkelsumme in eulerschen Dreiecken nicht größer als 3π sein.

Der sphärische Exzess, also der Überschuss der Innenwinkelsumme α + β + γ über π (bzw. 180°), kommt in der Differenz A_D = α + β + γ − π zum Ausdruck. Bei Kugeldreiecken mit sehr kleiner Fläche (gegenüber der gesamten Kugeloberfläche) beträgt die Innenwinkelsumme näherungsweise wie im Euklidischen 180°.

[Bearbeiten] Seitensumme

In allgemeinen sphärischen Dreiecken gilt für die Seitensumme

0 < a + b + c < 4π bzw.

In eulerschen Dreiecken gilt

0 < a + b + c < 2π bzw.

[Bearbeiten] Kongruenzsätze

Auf der Kugel muss man zwischen den Kongruenzsätzen zu eulerschen und nichteulerschen Dreiecken unterscheiden. Für beide gilt, dass ähnliche Dreiecke bereits kongruent sind (ihr Flächeninhalt ist aufgrund der Proportionalität zum sphärischen Exzess bereits gleich). Der im euklidischen gültige Kongruenzsatz sww (Seite-Winkel-Winkel) hat auf der Kugel hingegen keine Gültigkeit (vgl. Abbildung). Die Kongruenzverhältnisse in eulerschen Dreiecken sind der folgenden Tabelle zu entnehmen.

Übersicht zu den Kongruenzsätzen in eulerschen Dreiecken (zur Dualisierung siehe folgenden Abschnitt)

gegebene Dreiecksstücke	dual dazu	Kongruenzklasse eindeutig bestimmt?
sss	www	ja
ssw	sww	nein
sws	wsw	ja

In nichteulerschen Dreiecken bestimmen sss und sws noch keine eindeutige Kongruenzklasse (vgl. Abbildungen).

[Bearbeiten] Seiten- und Winkelverhältnisse

Die sphärische Trigonometrie ermöglicht es, aus drei bekannten Größen (Seiten oder Winkeln) des Kugeldreiecks die übrigen zu berechnen.

[Bearbeiten] Siehe auch

Kugelzweieck, Sphärische Trigonometrie, Einheitskugel, Sphärische Astronomie