Raketengrundgleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Die Raketengrundgleichung wurde erstmals 1903 von Konstantin Ziolkowski aufgestellt. Sie beschreibt die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten des Raketenantriebs.

Betrachtet wird der Fall, dass eine einstufige Rakete im gravitationsfreien Vakuum beschleunige. Eine Abbremsung durch Gravitation und Reibung wird nicht in Betracht gezogen. Außerdem wird von Geschwindigkeiten ausgegangen, die weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit liegen, was aber für Raketen erfüllt ist. Die Rakete habe beim Start die Geschwindigkeit Null und stoße Treibstoff mit einer konstanten Ausströmgeschwindigkeit aus. Dann beträgt die Geschwindigkeit nach der Zeit t

$v(t) = v_g \cdot \ln\left(\frac{m(0)}{m(t)}\right)$

Dabei ist

v (t)

die Raketengeschwindigkeit zur Zeit t,

v g

die Ausströmgeschwindigkeit des Antriebsstrahles (typisch: 4,5 km/s bei chemischen Raketentriebwerken)

m (0)

die Startmasse der Rakete und

m (t)

die Masse der Rakete zur Zeit t (also um den verbrauchten Treibstoff verkleinerte Startmasse)

[Bearbeiten] Detaillierte Herleitung der Gleichung

Bei der Beschleunigung strömt Treibstoff mit einer Geschwindigkeit v(g) nach hinten aus und beschleunigt so die Rakete, die eine Masse m(t) zum Zeitpunkt t habe, nach vorne. Diese Beschleunigung muss dem Impulserhaltungssatz gehorchen. Mit einer Raketengeschwindigkeit von v(t) vor dem Ausstoß hat man einen Impuls von m(t) v(t).

Gemäß dem zweiten Newtonschen Axiom ergibt sich folgende Differentialgleichung:

$F = \dot{p} = m \cdot \frac{dv}{dt} + v_g \cdot \frac{dm}{dt} = 0$

Diese Gleichung kann man numerisch für einzelne Zeitschritte lösen. Wenn man einen kontinuierlichen Treibstoffausstoß annimmt, kann man obige Gleichung als Differentialgleichung auffassen und erhält über Integration die obige Raketengleichung:

Teilen durch m und Multiplizieren mit dt (das ist mathematisch nicht völlig korrekt, doch unter Physikern ein beliebtes Mittel, um Herleitungen abzukürzen) liefert

$dv + v_g \cdot \frac{dm}{m} = 0$

Diese Gleichung kann nun integriert werden

$\int_0^t dv + \int_0^t v_g \cdot \frac{dm}{m} = 0$

Und als Ergebnis ergibt sich die Raketengleichung

$v(t) = v_g \cdot \ln \left(\frac{m(0)}{m(t)}\right)$

bzw:

$\vec{v}(t) = -\vec{v}_g \cdot \ln \left(\frac{m(0)}{m(t)}\right)$

[Bearbeiten] Praxisbezug

Die Raketengrundgleichung gilt auch im Vakuum des Weltraums.

Falls man die Ausströmgeschwindigkeit variieren kann und eine bestimmte Zielgeschwindigkeit hat, so ist die benötigte Energie minimal, wenn die Ausströmgeschwindigkeit ca. 62,75 % der Zielgeschwindigkeit beträgt.

Für Raketenstarts von der Erde muss die Formel noch um die Erdanziehungkraft ergänzt werden und lautet dann:

$v(t) = v_{g} \cdot \ln \left(\frac{m(0)}{m(t)}\right) - g \cdot t$

g steht dabei für die Fallbeschleunigung von zunächst 9,81 m/s²

Da g von der Höhe abhängt, heißt es richtiger:

$v(t) = v_{g} \cdot \ln \left(\frac{m(0)}{m(t)}\right) - \int_{0}^{t} g(t') \,dt'$

In der Realität hat man den Vorteil, dass sich die Erde dreht und man diese Geschwindigkeit mitbenutzen kann. (Am Äquator sind das etwa 0,46 km/s bei einem Start nach Osten.)

Flugzeuge, die durch Strahltriebwerke angetrieben werden, führen zwar ihren Brennstoff mit, saugen aber Luft an, verwenden deren Sauerstoff für die Verbrennung des Treibstoffs und stoßen das entstehende heiße Gasgemisch aus. Sie führen also nur einen Teil ihrer Antriebsmasse mit sich. Für solche Flugkörper gilt die Raketengrundgleichung nicht.

Bei "Swing-by"-Manövern gilt die Raketengrundgleichung nicht, weil der Impuls des ablenkenden Körpers mit berücksichtigt werden muss. Das gleiche gilt für geplante Antriebe, die das Magnetfeld der Erde oder Sonne nutzen sollen.

Die Raketengrundgleichung setzt auf die klassische Mechanik auf, gilt also nur für Geschwindigkeiten weit unter der Lichtgeschwindigkeit. In der heutigen Raumfahrt werden jedoch nur etwa 0,01% der Lichtgeschwindigkeit erreicht, so dass relativistische Effekte vernachlässigt werden können.

Von „http://de.wikipedia.org../../../r/a/k/Raketengrundgleichung.html“

Kategorien: Raumfahrtphysik | Raketentechnik | Klassische Mechanik