Vikipedio:Projekto matematiko/Algebre fermita kampo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Algebre fermita kampo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, kampo $F$ estas dirita al esti algebre fermita se ĉiu polinomo en unu (variablo, varianta) de grado almenaŭ $1$ , kun koeficientoj en $F$ , havas nulo (radiko) en $F$ .

Kiel ekzemplo, la kampo de reelaj nombroj estas ne algebre fermita, ĉar la polinoma ekvacio

3 x 2 + 1 = 0

havas ne solvaĵo en reelaj nombroj, (ebena, para, eĉ) kvankam ambaŭ de ĝiaj koeficientoj ( $3$ kaj $1$ ) estas (reala, reela). La sama argumento (demonstras, pruvas) (tiu, ke, kiu) la kampo de racionalaj nombroj estas ne algebre fermita. Ankaŭ, ne finia kampo $F$ estas algebre fermita, ĉar se $a 1$ , $a 2$ , …, $a n$ estas la eroj de $F$ , tiam la polinomo

(x - a 1)(x - a 2)

&_middot_;·&_middot_;

(x - a n) + 1

havas ne nulo en $F$ . Per kontrasto, la kampo de kompleksaj nombroj estas algebre fermita: ĉi tiu estas komencita per la fundamenta teoremo de algebro. Alia ekzemplo de algebre fermita kampo estas la kampo de algebraj nombroj.

Donita kampo $F$ , la aserto “ $F$ estas algebre fermita” estas ekvivalento al ĉiu de jeno:

Ĉiu polinomo $p (x)$ de grado $n$ ≥ $1$ , kun koeficientoj en $F$ , (klivas, fendas, forkiĝas) enen lineara (faktoroj, faktoras). En alia (vortoj, vortas), estas eroj $k$ , $x 1$ , $x 2$ , &_hellip_;, $x n$ en $F$ tia (tiu, ke, kiu)

p (x) = k (x - x 1)(x - x 2)

&_middot_;·&_middot_;

(x - x n)

La kampo $F$ havas ne pozitiva algebra vastigaĵo.

Por ĉiu natura nombro $n$ , ĉiu lineara surĵeto de $F n$ enen sin havas iu ajgenvektoro.

Ĉiu racionala funkcio en unu (variablo, varianta) $x$ , kun koeficientoj en $F$ , povas esti skribita kiel la (sumo, sumi) de polinoma funkcio kun racionalaj funkcioj de la (formo, formi) $a / (x - b) n$ , kie $n$ estas natura nombro, kaj $a$ kaj $b$ estas eroj de $F$ .

Se $F$ estas algebre fermita kampo, $a$ estas ero de $F$ , kaj $n$ estas natura nombro, tiam $a$ havas $n$ ^{(th, -a)} radiko en $F$ , ekde ĉi tiu estas la sama aĵo kiel (diranta, dirante) (tiu, ke, kiu) la ekvacio $x n - a = 0$ havas iu radiko en $F$ . Tamen, estas kampoj en kiu ĉiu ero havas $n$ ^{(th, -a)} radiko (por ĉiu natura nombro $n$ ) sed kiu estas ne algebre fermita. Fakte, (ebena, para, eĉ) alprenanta (tiu, ke, kiu) ĉiu polinomo de la (formo, formi) $x n - a$ (klivas, fendas, forkiĝas) enen lineara (faktoroj, faktoras) estas ne sufiĉa al certigi (tiu, ke, kiu) la kampo estas algebre fermita.