Vikipedio:Projekto matematiko/Homomorfio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Homomorfio (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Ĉi tiu vorto devus ne esti konfuzita kun homeomorfio.

En abstrakta algebro, homomorfio estas strukturo-konfitanta mapo inter du algebraj strukturoj (kiel (grupoj, grupas), (ringoj, ringas, sonoras), aŭ vektoraj spacoj). La vorto homomorfio venas de la Greka lingvo: _homo_ signifo "sama" kaj _morphos_ signifo "formo".

Enhavo 1 Neformala diskuto 2 Formala difino 3 (Klavas, Tipoj) de (homomorfioj, homomorfias) 4 Kerno de homomorfio 5 Vidu ankaŭ jenon:

[redaktu] Neformala diskuto

Ĉar abstraktaj algebraj studaj aroj kun (operacioj, operacias) (tiu, ke, kiu) generi (interezanta, interesanta) strukturo aŭ propraĵoj sur la aro, la plej (interezanta, interesanta) funkcioj estas tiuj kiu konfiti la (operacioj, operacias). Ĉi tiuj funkcioj estas sciata kiel (homomorfioj, homomorfias).

Ekzemple, konsideri la naturaj nombroj kun aldono kiel la operacio. Funkcio kiu konfitas aldono devus havi ĉi tiu propraĵo: f(a + b) = f(a) + f(b). (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) f(x) = 3x estas homomorfio, ekde f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b). (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu homomorfio (mapoj, mapas) la natura nombra dorso sur sin.

(Homomorfioj, Homomorfias) ne devi mapo inter aroj kiu havi la sama (operacioj, operacias). Ekzemple, operacio-konfitanta (operacioj, operacias) ekzisti inter la aro de reelaj nombroj kun aldono kaj la aro de pozitivaj reelaj nombroj kun multipliko. Funkcio kiu konfitas operacio devus havi ĉi tiu propraĵo: f(a + b) = f(a) * f(b), ekde aldono estas la operacio en la unua aro kaj multipliko estas la operacio en la (sekundo, dua). Donita la leĝoj de eksponentoj, f(x) = e^x (verigas, kontentigas) ĉi tiu kondiĉo.

Aparte grava propraĵo de (homomorfioj, homomorfias) estas (tiu, ke, kiu) se identa ero estas (prezenti, aktuala), ĝi estas ĉiam konfitis, tio estas, mapita al la idento. (Tononomo, Noto, Noti) en la unua ekzemplo f(0) = 0, kaj 0 estas la alsuma idento. En la (sekundo, dua) ekzemplo, f(0) = 1, ekde 0 estas la alsuma idento, kaj 1 estas la multiplika idento.

Se ni estas konsideranta multaj (operacioj, operacias) sur aro, tiam ĉiuj (operacioj, operacias) devas konserviĝi por funkcio al esti (konsiderita, konsideris) homomorfio. (Ebena, Para, Eĉ) kvankam la aro (majo, povas) esti la sama, la sama funkcio povus esti homomorfio, diri, en grupa teorio (aroj kun sola operacio) sed ne en ringa teorio (aroj kun du rilatanta (operacioj, operacias)), ĉar ĝi mankas al konfiti la aldona operacio (tiu, ke, kiu) ringa teorio konsideras.

[redaktu] Formala difino

homomorfio estas mapo de unu algebra strukturo al alia de la sama tipo (tiu, ke, kiu) konfitas ĉiu taŭga strukturo; kio estas propraĵoj ŝati identaj eroj, inversoj, kaj duuma (operacioj, operacias).

N.b. Iu (aŭtoroj, aŭtoras) uzi la vorto homomorfio en pli granda ĉirkaŭteksto ol (tiu, ke, kiu) de algebro. Iu preni ĝi al (meznombro, signifi) ajna struktura konfitanta mapo (kiel kontinua (mapoj, mapas) en topologio), aŭ (ebena, para, eĉ) pli abstrakta speco de mapo—kio ni (termo, membro, flanko, termino) strukturkonservanta transformo—uzita en teorio de kategorioj. Ĉi tiu artikolo nur (traktas, kuracas) la algebra ĉirkaŭteksto. Por pli konvencio vidi la strukturkonservanta transforma artikolo.

Ekzemple; se unu konsideras aroj kun sola operacio (matematiko) difinis sur ilin (algebra strukturo sciata kiel magmo), homomorfio estas mapo tia (tiu, ke, kiu)

kie estas la operacio sur X kaj estas la operacio sur Y.

Ĉiu tipo de algebra strukturo havas ĝia posedi tipo de homomorfio. Por specifa (difinoj, difinas) vidi:

• grupa homomorfio
• ringa homomorfio
• modulo (modela teorio) homomorfio
• lineara operatoro (homomorfio sur vektoraj spacoj)
• algebra homomorfio

La nocio de homomorfio povas esti donita formala difino en la ĉirkaŭteksto de universala algebro, kampaj kiuj studoj (ideoj, ideas) komuna al ĉiuj algebraj strukturoj. En ĉi tiu opcio, homomorfio estas mapo inter du algebraj strukturoj de la sama tipo tia (tiu, ke, kiu)

por ĉiu n-_ary_ operacio f kaj por ĉiuj x_i en A.

[redaktu] (Klavas, Tipoj) de (homomorfioj, homomorfias)

• An izomorfio estas (dissurĵeta, bijekcia) homomorfio. Du (objektoj, objektas) estas dirita al esti izomorfia se estas izomorfio inter ilin. Izomorfia (objektoj, objektas) estas plene nediferencigebla kiel malproksime kiel la strukturo koncerna estas koncernita.

• An _epimorphism_ estas (surjekcia, surĵeta) homomorfio.

• A _monomorphism_ estas (disĵeta, enjekcia) homomorfio.

• A homomorfio de objekto al sin estas (nomita, vokis) endomorfio.

• An endomorfio kiu estas ankaŭ izomorfio estas (nomita, vokis) aŭtomorfio.

La pli supre (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) estas uzitaj en analoga (modo, maniero) en teorio de kategorioj, tamen, la (difinoj, difinas) en teorio de kategorioj estas pli subtila; vidi la artikolo sur strukturkonservanta transformo por pli (detaloj, detalas).

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) en la pli granda ĉirkaŭteksto de strukturo konfitanta (mapoj, mapas), ĝi estas ĝenerale nesufiĉa al difini izomorfio kiel (dissurĵeta, bijekcia) strukturkonservanta transformo. Unu devas ankaŭ postuli (tiu, ke, kiu) la inverso estas strukturkonservanta transformo de la sama tipo. En la algebra opcio (almenaŭ en la ĉirkaŭteksto de universala algebro) ĉi tiu superflua kondiĉo estas aŭtomate kontentigita.

[redaktu] Kerno de homomorfio

(Ĉiu, Iu) homomorfio f : X → Y difinas ekvivalentrilato ~ sur X per a ~ b se kaj nur se f(a) = f(b). La rilato ~ estas (nomita, vokis) la kerno de f. Ĝi estas kongrueca rilato sur X. La kvocienta aro X/~ povas tiam esti donita objekto-strukturo en natura vojo, e.g., [x] * [y] = [x * y]. En (tiu, ke, kiu) (kesto, okazo) la bildo de X en Y sub la homomorfio f estas bezone izomorfia al X/~; ĉi tiu fakto estas unu de la izomorfiaj teoremoj. (Tononomo, Noto, Noti) en iu (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) (e.g. (grupoj, grupas) aŭ (ringoj, ringas, sonoras)), sola (ekvivalento-klaso, ekvivalentklaso) K sufiĉas al precizigi la strukturo de la kvociento, (do, tiel) ni skribi ĝi X/K. (X/K estas kutime legi kiel X _mod_ K.) Ankaŭ en ĉi tiuj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), ĝi estas K, iom ol ~, tio estas (nomita, vokis) la kerno de f (cf. normala subgrupo, idealo).

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

• strukturkonservanta transformo
• kontinua funkcio
• homeomorfio