Vikipedio:Projekto matematiko/Nereduktebla polinomo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Nereduktebla polinomo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la adjektivo nereduktebla (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) objekto ne povas esti esprimita kiel (produkto, produto) de almenaŭ du ne-bagatela (faktoroj, faktoras) en donita ringo. Vidi ankaŭ faktorigo.

Por (ĉiu, iu) kampo F, la ringo de (polinomoj, polinomas) kun koeficientoj en F estas signifita per $F [x]$ . Polinomo $p (x)$ en $F [x]$ estas (nomita, vokis) nereduktebla super $F$ , se ĝi estas ne-konstanto kaj ne povas esti (prezentita, prezentis) kiel la (produkto, produto) de du aŭ pli ne-konstanto (polinomoj, polinomas) de $F [x]$ .

Ĉi tiu difino dependas sur la kampo F. Iu simpla (ekzemploj, ekzemplas) estos esti diskutita pli sube.

Galezaj teoriaj studoj la interrilato inter kampo, ĝia Galezagrupo, kaj ĝiaj neredukteblaj polinomoj en profundaĵo. (Interezanta, Interesanta) kaj ne-bagatelaj aplikoj povas troviĝi en la studi de finiaj kampoj.

Ĝi estas helpema al kompari neredukteblaj polinomoj al primoj: primoj (kaj ankaŭ la (korespondanta, respektiva) negativaj nombroj de egala modulo) estas la nereduktebla (entjeroj, entjeras). Ili eksponi multaj de la ĝeneralaj propraĵoj de la koncepto 'nereduktebleco' (tiu, ke, kiu) egale turni sin al nereduktebla (polinomoj, polinomas), kiel la esence unika faktorigo enen primo aŭ nereduktebla (faktoroj, faktoras):

Ĉiu polinomo $p (x)$ en $F [x]$ povas esti faktorigita enen (polinomoj, polinomas) (tiu, ke, kiu) estas nereduktebla super F. Ĉi tiu faktorigo estas unika supren al permuto de la (faktoroj, faktoras) kaj la multipliko de (konstantoj, konstantas) de F al la (faktoroj, faktoras).

[redaktu] Simpla (ekzemploj, ekzemplas)

Jeno kvin (polinomoj, polinomas) demonstracii iuj rudimentaj propraĵoj de reduktebla kaj nereduktebla (polinomoj, polinomas):

$p_1(x)=x^2+4x+4\,=(x+2)(x+2)$ ,

$p_2(x)=x^2-4\,=(x-2)(x+2)$ ,

$p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$ ,

$p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ ,

$p_5(x)=x^2+1\,=(x-i)(x+i)$ .

Super la ringo Z de (entjeroj, entjeras), la unua du (polinomoj, polinomas) estas reduktebla, sed la alia tri estas nereduktebla.

Super la kampo Q de racionalaj nombroj, la unua tri (polinomoj, polinomas) estas reduktebla, sed la alia du (polinomoj, polinomas) estas nereduktebla.

Super la kampo R de reelaj nombroj, la unua kvar (polinomoj, polinomas) estas reduktebla, sed $p 5 (x)$ estas ankoraŭ nereduktebla.

Super la kampo C de kompleksaj nombroj, ĉiuj kvin (polinomoj, polinomas) estas reduktebla.

Fakte super C, ĉiu ne-konstanta polinomo povas esti faktorita enen lineara (faktoroj, faktoras)

$p(z)=a_n (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)$

kie $a n$ estas la kondukante koeficiento de la polinomo kaj $z_1,\ldots,z_n$ estas la nuloj de $p (z)$ . De ĉi tie, ĉiuj neredukteblaj polinomoj estas de grado 1. Ĉi tiu estas la Fundamenta teoremo de algebro.

(Tononomo, Noto, Noti): La ekzisto de esence unika faktorigo $p 5 (x) = x 2 + 1 = (x - i)(x + i)$ de $p 5 (x)$ enen (faktoroj, faktoras) (tiu, ke, kiu) fari ne aparteni $Q [x]$ (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu polinomo estas nereduktebla super Q: tie ne povas esti alia faktorigo.

Ĉi tiuj (ekzemploj, ekzemplas) demonstracii la interrilato inter la nuloj de polinomo (solvaĵoj de algebra ekvacio) kaj la faktorigo de la polinomo enen lineara (faktoroj, faktoras).

La ekzisto de neredukteblaj polinomoj de grado pli granda ol unu (sen nuloj en la originala kampo) historie motivigis la vastigaĵo de (tiu, ke, kiu) originala nombra kampo tiel ke (eĉ, ebena, para) ĉi tiuj (polinomoj, polinomas) povas reduktiĝi enen lineara (faktoroj, faktoras): de racionalaj nombroj al reelaj nombroj kaj plui al kompleksaj nombroj.

Por algebra (celoj, celas), la vastigaĵo de racionalaj nombroj al reelaj nombroj estas ofte ankaŭ 'radikala': Ĝi prezentas transcendaj nombroj ((tiu, ke, kiu) estas ne la solvaĵoj de algebraj ekvacioj kun (racionala, racionalo) koeficientoj). Ĉi tiuj nombroj estas ne (bezonata, bezonis) por la algebra celo de faktoriganta (polinomoj, polinomas) (sed ili estas necesa por la uzi de reelaj nombroj en analitiko). Tial, estas pure algebra procezo al etendi donita kampo F kun donita polinomo $p (x)$ al a pli granda kampo kie ĉi tiu polinomo $p (x)$ povas reduktiĝi enen lineara (faktoroj, faktoras). La studi de tia (vastigaĵoj, vastigaĵas) estas la deirpunkto de Galeza teorio.

[redaktu] Ĝeneraligo

Se R estas integrala domajno, ero f de R kiu estas neniu nulo nek unuo estas (nomita, vokis) nereduktebla se estas ne ne-(unuoj, unuas) g kaj h kun f = _gh_. Unu povas montri (tiu, ke, kiu) ĉiu prima ero estas nereduktebla; la konversacii estas ne vera en ĝenerala sed tenas en faktorecaj domajnoj. La polinomringo F[x] super kampo F estas faktoreca domajno.