Aplicación lineal
De Wikipedia, la enciclopedia libre
![]() |
Contenidos relacionados con Matemática |
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más facilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
donde k es un escalar.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Para detalles específicos sobre estos, ver el artículo Operador (mecánica cuántica).
[editar] Algunas transformaciones lineales
(Aclaración: Ov es el vector nulo del dominio y Ow es el vector nulo del codominio)
[editar] Transformación lineal nula
[editar] Transformación lineal identidad
[editar] Homotecias
con
- Si |k| > 1 se denominan dilataciones
- Si |k| < 1 se denominan contraccionees
- Ver artículo sobre Homotecias
[editar] Propiedades de las transformaciones lineales
[editar] Núcleo (kernel) e imagen
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
- Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
- El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
dado que
- Dados
- Dados
- Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Ker(T))
- O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
- La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
- El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
- rg(T) = dim(Im(T))
[editar] Transformación Lineal Singular y No Singular
Sean y
espacios vectoriales sobre el mismo campo
y
una transformación lineal de
en
. Entonces,
es no singular si:
X
En caso contrario es singular.
[editar] Teorema de las dimensiones
- dim(Nu(f)) + dim(Im(f)) = dim(V)
Demostración: Imagen:Demostracion dimension.pdf
[editar] Teorema fundamental de las transformaciones lineales
- Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal
Para todo
[editar] Clasificación de las transformaciones lineales
- Monomorfismo: Si
es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
- Epimorfismo: Si
es sobreyectiva (exhaustiva).
- Isomorfismo: Si
es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
- Endomorfismo: Si
o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).
- Automorfismo: Si
es endomorfismo e isomorfismo a la vez.
[editar] Matriz asociada a una transformación lineal
- Sea
una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal
Desarrollo:
Si V y W son espacios de dimensión finita, y se eligen bases en estos espacios, entonces toda transformación lineal de V a W puede ser representada como una matriz. Por otro lado, toda matriz real m por n determina una transformación lineal de esta forma f(x) = Ax
Sea una base de V. Entonces todo vector v en V está determinado de manera única por los coefientes
en :
Si f : V → W es una transformación lineal,
Lo cual implica que está completamente determinada por los valores
Ahora es una base de W. Podemos representar cada f(vj) como
Entonces la función f está enteramente determinada por los valores ai,j.. Si se trata de transformaciones de generalmente se usa la base canónica.
Si cambiamos las bases, entonces la matriz será distinta, pero representará la misma transformación
[editar] Función lineal como propiedad de los sistemas generales
Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades:
- Si aplicamos una entrada u1(x) obtenemos una salida particular y1(x)
- Si aplicamos una entrada u2(x) obtenemos una salida particular y2(x)
- Entonces si aplicamos u3(x)=c1u1(x)+c2u2(x) obtenemos una salida y3(x)=c1y1(x)+c2y2(x) para todos los pares de entradas u1(x) y u2(x) y para todos los pares de constantes c1 y c2.
Esto incluye también a las funciones lineales diferenciales.