Asíntota

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Una asíntota es una línea recta o curva a la que se aproxima una curva como gráfica de determinada función sin llegar jamás a tocarla por más que se acerque. En la construcción de gráficas, las asíntotas verticales corresponden a aquellos valores de la variable independiente que indefinen la función con una división entre cero. Las asíntotas horizontales corresponden a aquellos valores de la variable dependiente (y) a los que se aproxima la gráfica de la función conforme los valores de la variable independiente (x) se aproxima a más infinito y a menos infinito respectivamente. Las asíntotas oblicuas corresponden a las funciones cuya regla de correspondencia se integra de un cociente o división de dos polinomios tales que el polinomio del numerador es de grado mayor o igual que el polinomio del denominador. En todo caso, el conocimiento de las asíntotas y cómo se trazan apropiadamente es de gran valor para el trazo apropiado de una gráfica curva en el plano cartesiano, por ejemplo, las asíntotas de una hipérbola son las líneas guía de esta curva.

[editar] Asíntota vertical

cacasa

$\lim_{x \to 0} f(x) = \infty$

A la recta x = 0 se la denomina asíntota vertical.

Formalmente por definición de límite matemático:

$\lim_{x \to 0} f(x)= \infty \harr \forall M > 0 \quad \exists \delta_{(M)} > 0 / \forall x: [x \in Df \quad \and \quad |x| < \delta_{(M)} \Rightarrow |f(x)| > M]$

donde $Df = \real - \left\{0\right\}$

[editar] Asíntota horizontal

Si para la función $f(x) = \frac {1} {x}$ se calcula f(x) cuando x toma valores positivos o negativos grandes (ver valor absoluto), se puede observar que f(x) se aproxima a cero. Esta situación se puede escribir como:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ y a la recta y = 0 se la denomina asíntota horizontal

Formalmente:

$\lim_{x \to + \infty} f(x)= l \harr \forall \epsilon > 0 \quad \exists M \in \real / x > M \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon$

$\lim_{x \to + \infty} f(x)= l \harr \forall \epsilon > 0 \quad \exists M \in \real / x < M \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon$

Hipérbola equilátera

[editar] Asíntota oblicua

Dada la función $f(x) = \frac {x^14} {(x - 6)^4}$ y observando su gráfica:

se puede concluir que dicha función no posee asíntota horizontal, sino oblicua. La asíntota oblicua se calcula averiguando los siguientes límites:

$\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} = m$