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En matemáticas, una división por cero es una división en la que el divisor es igual a cero. En la mayoría de los contextos matemáticos normales, es una operación no definida y puede llevar a paradojas matemáticas.

Particularmente, en los números naturales, los enteros y los reales, la división por cero no está definida.

En otros cuerpos matemáticos, la división por cero puede estar permitida para ciertos valores específicos, los cuales son llamados adecuadamente divisores de cero.

[editar] Detalles

[editar] Paradoja clásica usando División por Cero

Sea a = b.

Multiplicando ambos lados de la igualdad por b, se obtiene:

ab = b²

Restando de la igualdad a²:

ab - a² = b² - a²

Factorizando:

a (b-a) = (a+b) (b-a)

Y simplificando por el término (b-a):

a = a + b

Puesto que a = b, entonces la expresión es equivalente a:

a = a + a = 2 a

Entonces,

1 = 2

(Contradicción)

El error de este procedimiento está en el paso 4, cuando se ha (b-a): al ser b=a, la expresión b-a es igual a cero y puesto que estamos tratando de dividir, ¡la operación no está permitida!

[editar] Contextos de una División por Cero

• Si se quiere averiguar cuál es el resultado de 1 dividido cero, se plantea la siguiente ecuación:

  

  • Se intercambian los términos:

  0x = 1

No hay ningún número que de como resultado 1 al multiplicarse por cero.

• Si se quiere averiguar el resultado de 0/0, se plantea:

  

  • Al operar queda planteado lo siguiente:

  0x = 0

Cualquier número multiplicado por cero da por resultado cero. Es por eso que es una indeterminación, y (con x ≠ 0) es una indefinición.

[editar] Cálculo

Desde el punto de vista del Cálculo, una división por cero causa una indefinición que es representable como el límite de la división. En efecto, sea:

Entonces, para calcular el valor de s se puede usar una aproximación de límite (por la derecha o por la izquierda suponiendo que s es un número real):

Puesto que, mientras el valor de q se acerca a cero, el resultado de b/q se hace más grande, se puede observar que eventualmente éste se hará infinitamente grande. Se puede entonces decir que b/0 es infinito (provisto que b sea distinto de cero):

Sin embargo, aunque aceptable en la práctica, esta solución puede generar varias paradojas si no se trata con cuidado. Por ejemplo, esto puede generar "diferentes infinitos".

Algunos intentos por tratar la división por cero en este ámbito están dadas por las extensiones a la recta de los reales y la Esfera de Riemann.

[editar] Informática

Una división por cero es, en informática, un clásico error lógico.

Puesto que muchos algoritmos informáticos clásicos de división usan el método de restas sucesivas, al ser el divisor cero, la resta como tal se ejecuta por siempre, ya que el dividendo nunca cambia. La aplicación en cuestión entra entonces en un bucle infinito.

Para prevenir esto, actualmente los procesadores matemáticos entregan un error al sistema si durante una división el divisor es cero. Este error suele ser de una categoría tal que la aplicación en cuestión será terminada sin remedio.

Por su parte, los compiladores más modernos incorporan mensajes de error cuando una división por cero ocurre explícitamente; algunos compiladores también pueden tratar de detectar divisiones por cero no explícitas. Aquellos lenguajes que incorporan manejo de excepciones pueden capturar este evento para que se tratado apropiadamente, ejecutando un código especialmente dedicado a este caso.

En el caso particular de divisiones por cero en aritmética de números en punto flotante, el estándar IEEE indica que tal operación resulta en la adopción del valor de Inf (infinito), o particularmente NaN (Not a Number, "No es un Número") si el dividendo es cero.