Lagrangiano

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En física, un lagrangiano es una función diseñada para resumir un sistema entero; el dominio apropiado del lagrangiano es un espacio de fases, y debe obedecer las ecuaciones de Euler-Lagrange. El concepto fue utilizado originalmente en una reformulación de la mecánica clásica conocida como la mecánica lagrangiana. En este contexto, el lagrangiano se toma comúnmente como la energía cinética de un sistema mecánico menos su energía potencial. El concepto también ha resultado útil en su extensión a la mecánica cuántica.

El lagrangiano es también útil en que simplifica grandemente los cálculos con los sistemas dinámicos.

[editar] Ejemplos de la mecánica clásica

Suponga que tenemos un espacio tridimensional y el lagrangiano

$\frac{1}{2}m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x})$

entonces, la ecuación de Euler-Lagrange es $m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0$ donde se ha utilizado la convención estándar en mecánica clásica de escribir la derivada respecto del tiempo como un punto sobre la función que es diferenciada.

Usando el resultado anterior podemos demostrar fácilmente que el enfoque lagrangiano es equivalente el newtoniano escribiendo la fuerza en términos del potencial $\vec{F}=- \nabla V(x)$ , entonces la ecuación que resulta es $\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}$ , exactamente la misma ecuación en un enfoque newtoniano para un objeto de masa constante, una deducción muy similar nos da la expresión $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ que es la segunda ley de Newton en su forma general.

Suponga que tenemos un espacio tridimensional en coordenadas esféricas, r, θ, φ con el lagrangiano

$\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\phi}^2)-V(r)$

entonces, las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

$m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\phi}^2)+V'=0$

$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})-mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2=0$

$\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\phi}=0)$

[editar] Formalismo matemático

Supóngase que tenemos una variedad n-dimensional, M y una variedad de llegada T ('blanco'). Sea $\mathcal{C}$ el espacio de configuración de las funciones diferenciables de M a T.

Antes de seguir, vamos a dar algunos ejemplos:

En mecánica clásica, M es una variedad unidimensional $\mathbb{R}$ , representando el tiempo y el espacio 'blanco' es el fibrado tangente del espacio de posiciones generalizadas.

En teoría de campos, M es la variedad de espacio-tiempo y el espacio 'blanco' es el conjunto de valores que los campos pueden tomar en cualquier punto dado. Por ejemplo, si hay m campos escalares real-valorados, φ₁...,φ_m, entonces la variedad 'blanco' son $\mathbb{R}^m$ . Si el campo es un campo vectorial real, entonces la variedad 'blanco' es isomorfa a $\mathbb{R}^n$ . Hay realmente una manera mucho más elegante usando los fibrados tangentes sobre M, pero nosotros solamente nos apegaremos a esta versión.

Ahora suponga que hay una funcional, $S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}$ , llamada la acción. Nótese que es una función $\mathbb{R}$ , no $\mathbb{C}$ . Esto tiene que ver con razones físicas.

En orden a que la acción sea local, necesitamos restricciones adicionales en la acción. Si $\phi\in\mathcal{C}$ , asumimos que S(φ) es la integral sobre M de una función de φ, su derivada y la posición llamada el lagrangiano, $\mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi...,x)$ . Es decir

$\forall\phi\in\mathcal{C}\, S[\phi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x),...,x)$ .

La mayoría del tiempo, también asumiremos además que el lagrangiano depende solamente del valor del campo y de su primer derivada pero no de las derivadas más altas; ¡ésta es solamente una cuestión de conveniencia, aunque, y no es verdad en general! Haremos esta asunción para el resto de este artículo.

Dada condiciones de contorno, básicamente una especificación del valor del φ en el borde de M si es compacto o un cierto límite en φ cuando x tiende a $\infty$ (éste ayudará en hacer la integración por partes), podemos denotar el subconjunto de $\mathcal{C}$ que consiste en funciones φ tales que toda derivada funcional de S en φ es cero y φ satisface las condiciones de límite dadas.

La solución viene dada por las ecuaciones de Euler-Lagrange (gracias a las condiciones de contorno), $\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0$ .