Progresión geométrica

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En matemáticas, una secuencia de números en la que la proporción entre cualquier número y el número siguiente es constante. Por ejemplo, {1,2,4,8,16,...} es una progresión geométrica con proporción constante de 2.

La progresión puede representarse de forma recursiva con la siguiente ecuación:

a₁ = a₁

a_n = r a_n-1

donde a es cada término, n el puesto que ocupa en la progresión, y r la proporción constante o razón.

También puede representarse de forma explícita con la siguiente ecuación:

a_n = a₁r ^n-1

Es lo que se denomina el término general de una progresión geométrica; con él se puede determinar cualquier elemento de la misma.

El término general a_n es igual al primer término a₁ multiplicado por la razón r elevado a la posición del término que se desea averiguar menos 1 n-1

Las progresiones geométricas pueden ser:

+ crecientes cuando la razón es mayor que 1, por lo que cada término es mayor que el anterior.

+ decrecientes cuando la razón es mayor que 0 y menor que 1, por lo que cada término es menor que el anterior.

+ alternas cuando la razón es menor que 0, por lo que sus términos se irán alternando entre positivos y negativos.

Tabla de contenidos

1 Suma de términos de una progresión geométrica
- 1.1 Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
- 1.2 Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
2 Temas relacionados

[editar] Suma de términos de una progresión geométrica

[editar] Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

Denominaremos como S_n a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:

S_n = a₁ + a₂ + . . . + a_n-1 + a_n

Si queremos obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, multiplicaremos ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

S_n · r = ( a₁ + a₂ + . . . + a_n-1 + a_n ) · r

o lo que es lo mismo,

S_n · r = a₁ · r + a₂ · r + . . . + a_n-1 · r + a_n · r

Si tenemos en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,

S_n · r = a₂ + a₃ + . . . + a_n + a_n · r

Si procedemos a restar de esta igualdad la primera:

S_n · r = a₂ + a₃ + . . . + a_n + a_n · r

S_n = a₁ + a₂ + . . . + a_n-1 + a_n

_______________________________

S_n · r - S_n = - a₁ + a_n · r

o lo que es lo mismo,

S_n ( r - 1 ) = a_n · r - a₁

Si despejamos S_n,

$S_n = \cfrac { a_n \cdot r - a_1 } { r - 1 }$

De esta manera obtenemos la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando conocemos el primer y el último término de la misma. Si queremos simplificar la fórmula, podemos expresar el término general de la progresión a_n como

a_n = a₁ · r^n-1

Así, al substituirlo en la fórmula anterior tenemos lo siguiente:

$S_n = \cfrac { a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1 } { r - 1 }$ = $\cfrac { a_1 \cdot r^n - a_1 } { r - 1 }$ = $\cfrac { a_1 ( r^n - 1 ) } { r - 1 }$

con lo que obtenemos la siguiente igualdad:

$S_n = a_1 \cfrac { r^n - 1 } { r - 1 }$

Con esta fórmula podremos obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.