Progressão geométrica

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Uma progressão geométrica (P.g.) é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante $q\,\!$ . O número $q\,\!$ é chamado de razão da progressão geométrica, e vem do 'q' de quociente.

Alguns exemplos de progressão geométrica:

$P.g.(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,...)\,\!$ , onde $q=2\,\!$

$P.g.(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256},...)\,\!$ , onde $q=\frac{1}{2}\,\!$

$P.g.(1,-3,9,-27,81,-243,729,-2187,...)\,\!$ , onde $q=-3\,\!$

$P.g.(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,...)\,\!$ , onde $q=1\,\!$

Existem cinco tipos de progressão geométrica: oscilante ( $q<0\,\!$ ), crescente ( $q>1\,\!$ ), decrescente ( $1>q>0\,\!$ ), constante ( $q=1\,\!$ ) e quase nula ( $q=0\,\!$ ).

Índice

1 Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica
2 Soma dos termos de uma P.G.
3 Soma dos infinitos termos de uma P.G.
4 Produto dos termos de uma P.G.
5 Tipos de progressões geométricas
6 Veja também

[editar] Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica

A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é expressa da seguinte forma, onde $a 1$ é o primeiro termo, e $n$ é o número de termos:

$a_n=a_1.q^{n-1}\,\!$

[editar] Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é dada por:

$S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}$

[editar] Soma dos infinitos termos de uma P.G.

Se uma P.G. possui razão $-1<q<1\,\!$ , a soma de seus infinitos termos é dada por:

$S_\infty=\frac{a_1}{1-q}$

Se uma P.G. possui razão $q>1\,\!$ , a soma de seus infinitos termos é dada por:

$S_\infty=\frac{a_1(+\infty - 1)}{q-1}$

dará um resultado infinito, no mesmo sinal que $a_1\,\!$ .

Se $a_1>0\,\!$ : $S_\infty=+\infty$
Se $a_1<0\,\!$ : $S_\infty=-\infty$

[editar] Produto dos termos de uma P.G.

O produto dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é dada por:

$P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}}$

[editar] Tipos de progressões geométricas

[editar] Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).

Exemplos de progressão geométrica constante:

P.G. (1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1
P.G. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada

[editar] Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre positiva e diferente de zero.

Exemplos de progressão geométrica crescente:

P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2
P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3

[editar] Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre positiva e diferente de zero.

Exemplos de progressão geométrica decrescente:

P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razão q = 2
P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2

[editar] Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.

Exemplos de progressão geométrica oscilante:

P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2
P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1

[editar] Progressão geométrica quase nula

Uma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão geométrica quase nula:

P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0

[editar] Veja também

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../p/r/o/Progress%C3%A3o_geom%C3%A9trica.html"

Categoria: Sucessões