Subespacio vectorial

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Tabla de contenidos

1 Definición
- 1.1 Criterio de subespacio
2 Dimensiones de subespacios
- 2.1 Fórmula de Grassman

[editar] Definición

Sean (V,+,K,*) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.

S es subespacio vectorial de V si (S,+,K,*) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V.

[editar] Criterio de subespacio

El criterio para la verificación de que S es subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío que cumple con estas tres condiciones:

1) El vector nulo pertenece al conjunto

2) Sea K un número real y {v} un vector que pertenece al conjunto entonces K.v también pertenece al conjunto.

3) Sean {u} y {v} dos vectores que pertenecen al conjunto entonces u+v también pertenece al conjunto.

Si estos tres axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

[editar] Dimensiones de subespacios

La intersección de dos subespacios de V es también un subespacio.
La unión de dos subespacios de V, puede no ser un subespacio del mismo.
La suma de dos subespacios $u 1$ y $u 2$ pertenecientes a $V$ , que se define como: $U = u 1 + u 2$ . También es un subespacio de $V$

[editar] Fórmula de Grassman

Sean los subespacios $u 1$ , $u 2$ del espacio vectorial $V$ :

$\dim(u_1+u_2)=\dim(u_1)+\dim(u_2)-\dim(u_1 \cap u_2)$

Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios $u 1$ y $u 2$ será igual a la dimensión del subespacio $u 1$ más la dimensión del subespacio $u 2$ menos la dimensión de la intersección de ambos.

Ejemplo: Siendo $\dim(u_1)=3$ y $\dim(u_2)=2$ y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1. Luego, $\dim(u_1+u_2)=4$ .