Transformada de Hilbert

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La transformada de Hilbert (en rojo) de una onda cuadrada (en azul)

En matemáticas y en procesamiento de señales, la transformada de Hilbert $\mathcal{H}$ , de una función real, $s(t)\,$ , se obtiene mediante la convolución de las señales $s (t)$ y $1 / (π t)$ obteniendo $\widehat s(t)$ . Por lo tanto, la transformada de Hilbert $\widehat s(t)$ se puede interpretar como la salida de un sistema LTI con entrada $s (t)$ y respuesta al impulso $1 / (π t)$ .

Es una herramienta matemática útil para describir la envolvente compleja de una señal modulada por una portadora real. Su definición es:

$\widehat s(t) = \mathcal{H}\{s\}(t) = (h*s)(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{s(\tau)}{t-\tau}\, d\tau.\,$

donde

$h(t) = \frac{1}{\pi t}\,$

y considerando la integral como el valor principal (lo que evita la singularidad $\tau = t\,$ ).

La transformada de Hilbert posee una respuesta en frecuencia dada por la transformada de Fourier:

$H(\omega ) = \mathcal{F}\{h\}(\omega)\, = \begin{cases}+j\, & \mbox{si } \omega < 0\, \\-j\, & \mbox{si } \omega > 0\,\end{cases}$

o, de manera equivalente:

$H(\omega ) = \mathcal{F}\{h\}(\omega)\, = -j\cdot \sgn(\omega)$

$j\,$ (o también $i\,$ ) es la unidad imaginaria

Y como:

$\mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega) = H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{s\}(\omega)$ ,

la transformada de Hilbert produce el efecto de desplazar la componente de frecuencias negativas de $s(t)\,$ +90° y las parte de frecuencias positivas −90°.

También tenemos que $H^2(\omega ) = -1\,$ , por lo que multipicando la ecuación anterior por $-H(\omega )\,$ , obtenemos:

$\mathcal{F}\{s\}(\omega) = -H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega)$

de donde obtenemos la transformada inversa de Hilbert:

$s(t) = -(h * \widehat s)(t) = -\mathcal{H}\{\widehat s\}(t).\,$

[editar] Ejemplos de transformadas

Señal $s(t)\,$	Transformada de Hilbert $\mathcal{H}\{s\}(t)$
$\sin(t)\,$	$-\cos(t)\,$
$\cos(t)\,$	$\sin(t)\,$
$1 \over t^2 + 1$	$t \over t^2 + 1$
$\sin(t) \over t$ Función sinc	$1 - \cos(t) \over t$
$\sqcap(t)$ función rectángulo	${1 \over \pi} \ln \left \| {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}} \right \|$
$δ(t)$ Función delta de Dirac	${1 \over \pi t}$