Combinatoire

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En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.

En particulier la combinatoire s'intéresse aux méthodes permettant de compter les éléments dans des ensembles finis (combinatoire énumérative) et à la recherche des optima dans les configurations ainsi qu'à leur existence (combinatoire extrémale).

La combinatoire débute au XVII^e siècle, en même temps que le calcul des probabilités. Initialement, cette partie avait pour objet la résolution des problèmes de dénombrement, provenant de l'étude des jeux de hasard. Elle se développa de façon significative sous l'influence du calcul des probabilités. Plus tard, elle se lia à la théorie des nombres et à la théorie des graphes.

Voici quelques exemples de situations donnant lieu à des questions d'analyse combinatoire :

les rangements de livres sur une étagère ;
les dispositions de personnes autour d'une table ronde ;
les tirages avec remise d'un certain nombre de boules numérotées dans une urne ;
les placements de jetons sur un damier.

Quel est le nombre d'ordonnancements possibles des cartes d'un jeu de 52 cartes ?

Ce nombre est égal à 52! (le « ! » dénotant la factorielle). Il peut sembler étonnant que ce nombre, environ 8,065817517094*10⁶⁷, soit si grand. C'est environ 8 suivis de 67 zéros. Il est, par exemple, plus grand que le nombre d'Avogadro, égal à 6,022*10²³ (nombre d'atomes de carbone 12 dans 12 grammes de carbone 12).

Sommaire

1 Permutations (dispositions, ordonnancements)
- 1.1 Permutation (sans répétition) d'objets discernables
- 1.2 Permutation avec répétition d'objets discernables
2 Arrangements (choix en tenant compte de l'ordre)
- 2.1 Arrangements sans répétition
- 2.2 Arrangements avec répétition
3 Combinaisons (choix sans tenir compte de l'ordre)
- 3.1 Combinaison sans répétition
- 3.2 Combinaison avec répétition
4 Fonction de comptage
5 Quelques résultats
6 Voir aussi

[modifier] Permutations (dispositions, ordonnancements)

[modifier] Permutation (sans répétition) d'objets discernables

Comme exemple d'introduction, considérons le nombre de dispositions de six objets discernables dans six cases consécutives numérotées avec un et un seul objet par case. Chacun des objets peut être placé dans la première case, ce qui donne six possibilités d'occuper la première place. Une fois la première place occupée par l'un des objets, il reste encore cinq candidats pour la deuxième place, la deuxième place étant attribuée, il reste seulement quatre candidats pour la troisième place, et ainsi de suite. Pour l'avant-dernière place, il ne reste plus que deux objets, et une fois l'un des deux placé, la dernière place doit être occupée par le dernier objet.

Il y a ainsi 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ou 6! = 720 possibilités de disposer six objets discernables.

Généralisation

Nous allons voir que le nombre de dispositions de n éléments discernables est égal à n !

Une disposition des objets d'un ensemble E de cardinal n, dans n cases avec un et un seul objet par case, ou un ordonnancement des éléments de E se représente par une bijection de {1, 2,..., n} dans E ou une permutation de E. Il est commode de représenter une telle bijection par un n-uplet (ou n-liste) d'éléments de E, (x₁, x₂, ..., x_n).

Théorème

Il y a n! permutations (sans répétition) de n éléments.

En effet, pour former un n-uplet d'éléments de E, nous devons choisir un élément de E pour la première place du n-uplet et il y a n possibilités, il y a n - 1 choix possibles d'un élément de E pour la deuxième place, n - 2 pour la troisième etc. Il n'y a plus qu'un seul choix d'élément pour la dernière place. Donc au total n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1 permutations.

Cette propriété se démontre par récurrence sur n.

[modifier] Permutation avec répétition d'objets discernables

Pour déterminer le nombre des dispositions possibles d'objets de plusieurs classes et mutuellement indiscernables dans chaque classe, il est utile de considérer le nombre de dispositions possibles de ces objets en les supposant tous discernables, et ensuite de trouver combien de ces dispositions sont indiscernables. Le nombre des dispositions possibles de ces objets est égal au nombre de dispositions possibles des objets considérés comme discernables divisé par le nombre des dispositions indiscernables.

Par exemple, si nous devons déterminer le nombre total de dispositions d'objets dont deux sont d'une première classe, trois d'une deuxième classe et cinq d'une troisième classe, alors nous calculons le nombre total de dispositions de ces objets considérés comme indiscernables, ce qui donne (2 + 3 + 5)!, soit 3 628 800 dispositions possibles. Mais certaines dispositions restent inchangées lorsque les objets indiscernables d'une même classe sont échangés mutuellement, et il y a 2! × 3! × 5! soit 1 440 façons de permuter les objets de chacune de ces classes.

Nous obtenons au total 3 628 800 ÷ 1 440 = 2 520 dispositions différentes. Il s'agit aussi du nombre de permutations avec répétition de 10 éléments avec 2, 3 et 5 répétitions.

Généralisation

Le nombre de permutations de n éléments, répartis dans k classes dont n₁ sont de classe 1, n₂ sont de classe 2, ..., n_k sont de classe k, indiscernables dans chaque classe, ou le nombre de permutations de n éléments avec n₁, n₂, ..., n_k répétitions, avec $\left ( \sum^k_{i=1} n_i = n \right )$ , est égal à : $\frac{n!}{n_1! n_2!...n_k!}$ .

[modifier] Arrangements (choix en tenant compte de l'ordre)

[modifier] Arrangements sans répétition

Nous disposons de n objets discernables et nous voulons en placer k, en tenant compte de l'ordre, dans k cases numérotées de 1 à k avec un et un seul objet par case. Le nombre de dispositions est alors égal au nombre de k-listes distinctes formées à partir de ces objets. Au lieu de constituer un n-uplet, à partir de n objets discernables, nous formons ici des k-uplets avec k≤n, (x₁, x₂, ..., x_k) à partir de ces n objets tels que pour i≠j, on ait x_i≠x_j. Un tel k-uplet s'appelle un arrangement sans répétition de n éléments pris k à k.

Théorème :
Le nombre d'arrangement sans répétition de n éléments pris k à k est égal à $A_n^k$ (égal à $\frac{n!}{(n-k)!}$ si k≤n et 0 sinon)

En effet, Il y a n choix possibles de l'objet qui occupe la première place du k-uplet, n-1 choix pour l'objet de la seconde place, pour la kème, il ne reste plus que n-(k-1) objets et donc n-k+1 choix possibles. Le produit n(n-1)...(n-k+1) s'écrit bien sous la forme : $\frac{n!}{(n-k)!}$ .

Le cas n = k nous oblige alors à diviser par (0)! que l'on définit comme valant 1

[modifier] Arrangements avec répétition

Lorsque nous voulons placer des objets pris parmi n objets discernables dans k emplacements en tenant compte de l'ordre, ces objets pouvant apparaître plusieurs fois, le nombre de dispositions est alors égal au nombre de k-uplets formés à partir de ces n objets. Un tel k-uplet, avec k≤n, (x₁, x₂, ..., x_k) formé à partir de ces n objets s'appelle un arrangement avec répétition de n éléments pris k à k.

Comme chaque emplacement peut être occupé indifféremment par l'un quelconque de ces n objets, il y en a au total n^k.

Quand nous tirons 11 fois l'un de 3 numéros en tenant compte de l'ordre d'apparition nous obtenons au total 3¹¹ = 177 147 tirages différents. Comme exemple tiré de la génétique, nous pouvons donner le nombre total de codons de base (triplets formés de quatre codes) : 4³= 64.

[modifier] Combinaisons (choix sans tenir compte de l'ordre)

Contrairement aux arrangements, les combinaisons sont des dispositions d'objets qui ne tiennent pas compte de l'ordre de placement de ces objets. Par exemple, si a, b et c sont des boules tirées d'une urne, abc et acb correspondent au même tirage. Il y a donc moins de combinaisons que d'arrangements.

[modifier] Combinaison sans répétition

Si nous tirons sans remise k objets parmi n objets discernables, et nous les disposons sans tenir compte de l'ordre d'apparition; nous pouvons représenter ces k objets par une partie à k éléments d'un ensemble à n éléments. Ce sont des combinaisons sans répétition de n éléments pris k à k.

Pour déterminer le nombre de ces dispositions, nous pouvons déterminer le nombre d'arrangements de k objets et diviser par le nombre de dispositions obtenues les unes à partir des autres par une permutation. Il y a $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$ (pour la notation, voir aussi l'article sur le coefficient binomial).

Au jeu du loto, nous devons choisir parmi 49 numéros, 6 numéros différents sans tenir compte de l'ordre, et il y a 13 983 816 choix possibles $\left( C_{49}^6=\frac{49!}{6! \cdot 43!} \right)$ .

Sur le même principe, le jeu « euro-millions » demande de choisir 5 nombres entre 1 et 50 et 2 nombres entre 1 et 9, soit $C_{50}^5 \times C_9^2=76\,275\,360$ possibilités.

[modifier] Combinaison avec répétition

Si nous tirons avec remise k objets parmi n objets discernables, et nous les disposons sans tenir compte de l'ordre d'apparition; ces objets peuvent apparaître plusieurs fois et nous ne pouvons les représenter ni avec une partie à k éléments, ni avec un k-uplet puisque leur ordre de placement n'intervient pas. Il est cependant possible de représenter de telles dispositions avec des applications appelées combinaisons avec répétition.

Le nombre de combinaisons avec répétition de n éléments pris k à k est égal à : $\Gamma_n^k=C_{n+k-1}^{k}$ .

Donnons l'exemple du jeu de domino. Les pièces sont fabriquées en disposant côte à côte deux éléments de l'ensemble {blanc, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si nous retournons un domino, nous changeons l'ordre des deux éléments, mais le domino reste identique. Nous avons une combinaison avec répétition de 7 éléments pris 2 à 2, et au total il y a : $\Gamma_7^2=C_8^2=28$ dominos dans un jeu.

[modifier] Fonction de comptage

Soit Ϭ_n l'ensemble des permutations de {1, 2, ..., n}. Nous pouvons considérer la fonction qui à n associe le nombre de permutations. Cette fonction est la fonction factorielle et sert à compter les permutations.

Étant donnée une collection infinie d'ensembles finis {E_n/n∈ℕ} indexée par l'ensemble des entiers naturels, une fonction de comptage est une fonction qui à un entier n associe le nombre d'éléments de E_n. Une fonction de comptage f permet donc de compter les objets de E_n pour n'importe quel n. Les éléments de E_n ont habituellement une description combinatoire relativement simple et une structure additionnelle, permettant souvent de déterminer f.

Certaines fonctions de comptage, sont données par des formules « fermées », et peuvent être exprimées comme |composées de fonctions élémentaires telles que des factorielles, des puissances, et ainsi de suite.

Cette approche peut ne pas être entièrement satisfaisante (ou pratique) pour certains problèmes combinatoires. Par exemple, soit f(n) le nombre de sous-ensembles distincts de nombres entiers dans l'intervalle [1, n] qui ne contiennent pas deux nombres entiers consécutifs. Par exemple, avec n = 4, nous obtenons ∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 3 }, { 1, 4 }, { 2, 4 }, et donc f(4) = 8. Il s'avère que f(n) est le nème nombre de Fibonacci, qui peut être exprimé sous la forme « fermée » suivante :

$f(n)=\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}-\frac{(1-\phi)^n}{\sqrt{5}}$

où φ = (1 + √5)/2, est le nombre d'or. Cependant, étant donné que nous considérons des ensembles de nombres entiers, la présence du √5 dans le résultat peut être considérée comme inesthétique d'un point de vue combinatoire. Aussi f(n) peut-il être exprimé par une relation de récurrence :

f(n) = f(n - 1) + f (n - 2)

ce qui peut être plus satisfaisant (d'un point de vue purement combinatoire), puisque la relation montre plus clairement comment le résultat a été trouvé.

Dans certains cas, un équivalent asymptotique g de f,

f(n)~g(n) quand n tend vers l'infini

où g est une fonction « familière », permet d'obtenir une bonne approximation de f. Une fonction asymptotique simple peut être préférable à une formule « fermée » extrêmement compliquée et qui informe peu sur le comportement du nombre d'objets. Dans l'exemple ci-dessus, un équivalent asymptotique serait:

$f(n)\sim\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}$

quand n devient grand.

Une autre approche est celle des séries entières. f(n) peut être exprimé par une série entière formelle, appelée fonction génératrice de f, qui peut être le plus couramment:

la fonction génératrice ordinaire

$\sum f(n) x^n$

ou la fonction génératrice exponentielle

$\sum f(n) \frac{x^n}{n!}$

les sommes étant prises pour n>0. Une fois déterminée, la fonction génératrice peut permettre d'obtenir toutes les informations fournies par les approches précédentes. En outre, les diverses opérations usuelles comme l'addition, la multiplication, la dérivation, etc., ont une signification combinatoire; et ceci permet de prolonger des résultats d'un problème combinatoire afin de résoudre d'autres problèmes.

[modifier] Quelques résultats

Un théorème, dû à Franck P. Ramsey, donne un résultat surprenant. À une soirée à laquelle se rendent au moins six personnes, il y a au moins trois personnes qui se connaissent mutuellement ou au moins trois qui sont étrangères les unes aux autres.

Démonstration

soit P1 une personne quelconque présente à la soirée. Sur les n-1 autres, soit elle en connaît au plus deux, soit elle en connaît au moins trois. Supposons que l’on est dans le second cas, et soient P2, P3 et P4 trois personnes connues de P1. Si deux d’entres elles se connaissent, mettons P2 et P3, alors P1, P2 et P3 se connaissent toutes trois. Sinon, P2, P3 et P4 ne se connaissent pas du tout, et le résultat annoncé est encore juste. Dans l’autre cas de figure (P1 connaît au plus deux personnes du groupe), le même raisonnement, inversé, fonctionne avec les trois personnes que P1 ne connaît pas.

(c'est un cas particulier du théorème de Ramsey)

L'idée de trouver un ordre dans des configurations aléatoires mène à la théorie de Ramsey. Essentiellement, cette théorie indique que n'importe quelle configuration suffisamment grande contiendra au moins un autre type de configuration.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

(en) Sur Frank P. Ramsey

[modifier] Référence

(en) Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2, Cambridge University Press, 1997 et 1999. ISBN 0-521-55309-1N
(en) The Solution of a Combinatorial Problem

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