Gammes et tempéraments

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Une des caractéristiques principales des sons musicaux est leur « hauteur », notion relative à laquelle notre oreille est sensible et que l'expérience fait correspondre à leur fréquence, grandeur physique mesurable et susceptible d'être traitée par le calcul.

Si cette grandeur physique n'est connue que depuis moins de deux cents ans, cela n'a pas empêché les théoriciens de la musique, depuis l'Antiquité, de mettre en rapport les sons et les nombres, car ils avaient remarqué que la hauteur du son émis par une corde vibrante ou un tuyau sonore dépendait directement de leur longueur (cf Rationalisation et mathématisation de la musique). On sait aujourd'hui démontrer que la fréquence des sons émis par ces corps est en proportion inverse de ces longueurs, et par conséquent, les mathématiciens du passé avaient pu raisonner de façon correcte sur l'acoustique malgré leur méconnaissance de la théorie des phénomènes vibratoires et des ondes stationnaires.

On a depuis longtemps reconnu le principe de l'équivalence des octaves, selon lequel deux sons dont les fréquences sont dans un rapport de 1 à 2 « sonnent » de manière tellement comparable que l'on donne à de telles notes le même nom.

L'octave étant reconnue comme l'intervalle sonore le plus simple, il reste à la diviser en intervalles plus petits car elle ne permet pas à elle seule de composer ce qu'on peut appeler de la musique. Définir une gamme musicale, c'est donc définir une méthode pour diviser l'octave en intervalles sonores plus petits. Bien que le spectre des fréquences sonores soit continu dans l'intervalle d'octave, on n'utilise généralement pas, en effet, des sons de fréquence totalement arbitraire, et ceci tant pour des raisons musicales que pour des raisons techniques liées aux instruments à sons fixes.

Il existe une infinité de méthodes pour découper une octave en intervalles plus petits. Mais toutes ces méthodes ne sont pas intéressantes :

le nombre d'intervalles doit être relativement faible, faute de quoi chacun d'entre eux est trop petit, et les notes successives obtenues trop rapprochées pour être discernables par l'oreille ;
la « panoplie » d'intervalles choisis doit correspondre à des notes qui puissent être combinées entre elles sans choquer l'oreille (notions de consonance et d'harmonie) ;
les intervalles doivent, sinon être rigoureusement identiques, du moins diviser l'octave de façon suffisamment régulière pour permettre, autant que possible, la transposition.

Dans la musique occidentale, trois types de gammes particulières ont connu, avec leurs éventuelles variantes, une fortune importante :

la gamme pythagoricienne, fondée sur le cycle des quintes ;
les gammes « naturelles », fondées sur les sons harmoniques ;
La gamme tempérée à intervalles égaux.

Elles constituent d'ailleurs entre elles des systèmes musicaux suffisamment voisins (soit 12 demi-tons par octave) pour permettre d'exécuter une œuvre musicale dans l'un quelconque de ces systèmes sans la déformer de façon trop sensible.

La construction de ces gammes est expliquée ci-dessous. Mais auparavant :

[modifier] Quelques préliminaires indispensables ou utiles

[modifier] Son fondamental, sons harmoniques

À hauteurs (donc fréquences) identiques, les sons émis par deux instruments différents (par exemple un violon et une flûte) ne résonnent pas de la même manière. Chacun se caractérise par ce qu'on appelle son "timbre" qui permet de l'identifier, traduction du fait qu'aucun son naturel n'est réellement simple : il résulte de la combinaison d'un son principal - ou fondamental - qui fixe la fréquence perçue par l'oreille et d'un grand nombre de ses harmoniques dont les pondérations relatives déterminent, précisément, son timbre.

Toute fonction mathématique périodique, et notamment celle qui correspond à une vibration sonore, peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoïdales élémentaires dont les périodes plus courtes, (et donc les fréquences plus hautes) sont en rapport algébrique rationnel avec sa propre période. (décomposition en « série de Fourier »)

En acoustique, on va donc distinguer les sons simples correspondant à une fonction sinusoïdale simple et les sons musicaux, comprenant un son fondamental et des harmoniques, dont les rapports de fréquence avec la fondamentale sont des quotients de nombres entiers.

[modifier] Intervalles sonores et logarithmes

L'oreille identifie des « intervalles », grandeur additive que nous percevons comme une différence de « hauteur », quand la physique identifie des rapports de fréquences.

Soient trois sons A, B, C tels que nous analysons les intervalles relatifs B-A et C-B comme identiques. Notons respectivement h_A, h_B et h_C les « hauteurs » de ces trois sons : nous écrivons donc : h_A - h_B = h_B - h_C

Si nous notons f_A, f_B, f_C leurs fréquences relatives, celles-ci satisfont à l'équation

f_A / f_B = f_B / f_C

La fonction « logarithme » est, en mathématiques, celle qui permet de transformer des multiplications en additions (et les divisions en soustractions), ainsi :

log (f_A / f_B) = log (f_A) - log (f_B)

log (f_B / f_C) = log (f_B) - log (f_C)

donc : log (f_A) - log (f_B) = log (f_B) - log (f_C)
expression équivalente à :
h_A - h_B = h_B - h_C

Ceci nous permet de « quantifier » la hauteur d'un son, en la définissant comme le logarithme de sa fréquence. Les intervalles (notion initialement subjective) prennent alors une signification mathématique que nous pouvons dorénavant soumettre au calcul. Pour faire des additions et soustractions d'intervalles, nous devrons faire des multiplications ou divisions de rapports de fréquences.

[modifier] Unités de mesure des intervalles

Il y a plusieurs unités de mesure des intervalles musicaux, parmi lesquels :

le savart - une octave vaut environ 301 savarts ;
le prony - une octave vaut exactement douze pronys ;
le centième (de prony) ou cent- une octave en vaut exactement 1200.

Cette dernière unité est la plus pratique pour comparer des intervalles et elle est la seule utilisée couramment. On remarque qu'un savart vaut environ 4 cents.

[modifier] Les harmoniques et les intervalles les plus simples

L'harmonique la plus simple est l'octave, dont la fréquence est double de la fondamentale. Le principe d'équivalence des octaves nous permet de ne considérer que les harmoniques dont la fréquence est comprise entre la fréquence fondamentale F (souvent notée f₀) et celle de l'octave supérieure 2xF.

La fréquence 3xF sera ainsi « ramenée » dans l'intervalle 1 à 2, en la divisant par 2, c'est-à-dire en descendant d'une octave pour obtenir la fréquence Fx3/2. Cet intervalle, correspondant à un rapport de fréquences 3/2 ou 1,5, est le plus simple après l'octave, et a une importance primordiale dans la musique occidentale. On l'appelle l'intervalle de « quinte ».

Les musiciens de l'Antiquité et du Moyen Âge considéraient que seuls étaient « consonants » c'est-à-dire parfaitement harmonieux, les intervalles d'octave et de quinte.

Partant d'une note quelconque X, nous avons défini son octave X_O et sa quinte X_Q
Nous avons : f(X_O) / f(X) = 2 et f(X_Q) / f(X) = 3/2
or : f(X_O) / f(X_Q) = (f(X_O) / f(X)) / (f(X_Q) / f(X))
donc : f(X_O) / f(X_Q) = 4/3.

Ce nouveau rapport de fréquences s'appelle la « quarte » : c'est l'intervalle existant entre X_Q et X_O, c'est le renversement de la quinte par rapport à l'octave, et il définit un nouveau son harmonique de la fondamentale, X_q tel que f(X_q) / f(X) = f(X_O) / f(X_Q) = 4/3

La quarte et la quinte étant définies, on nomme « ton majeur » ou seconde majeure leur différence.
Si X_T est la note qui diffère d'un ton majeur de X, on a :

f(X_T) / f(X) = (f(X_Q) / f(X)) / (f(X_q) / f(X))

Donc f(X_T) / f(X) = (3/2) / (4/3) = 9/8, rapport de fréquences du ton majeur.

[modifier] Consonance et dissonance

Si les fréquences des sons et leurs intervalles relatifs sont des grandeurs quantifiables, les notions de consonance et de dissonance sont, quant à elles, subjectives et basées sur la perception auditive et la réflexion qu'on lui apporte : certains définissent la consonance de deux fréquences sonores comme le caractère « agréable » de leur émission simultanée ou immédiatement successive.

Mais, plus simplement, la consonance (=sonner avec) désigne la capacité de plusieurs sons à s'unir entre eux, liée à la notion de pureté d'un intervalle. (voir l'article consonance). A ce sujet, il ne faut pas confondre pureté (notion objective) et justesse (notion plus subjective) d'un intervalle. La confusion entre ces deux termes rend parfois difficile une bonne compréhension de certains textes anciens. (ex. chez Rameau)

Philosophes, acousticiens, physiciens ou mathématiciens des XVII^e et XVIII^e siècles ont tenté de chercher une explication rationnelle au caractère agréable ou désagréable d'un accord ou d'un autre, avec des succès divers. Pour certains, cette recherche paraît aussi vaine que de tenter d'expliquer pourquoi certains aiment mieux le jaune que le bleu. Ils pensent que la culture joue de façon importante dans cette appréciation. Il est vrai que les anciens grecs n'admettaient comme consonants que les intervalles d'octave et de quinte, puis le Moyen Âge et la Renaissance y ont admis progressivement les tierces avant que la complexité croissante de la musique nous porte à considérer comme consonants des intervalles qui auraient fait grincer des dents Palestrina et ses contemporains. Nos oreilles, éduquées dans l'environnement de la gamme tempérée, sont surprises lorsqu'elles entendent pour la première fois une tierce pure. On peut opposer qu'il s'agit d'une évolution plus logique que culturelle : les intervalles consonants sont arrivés les uns après les autres dans l'ordre harmonique. (rang 2 : octave, rang 3 : quinte et quarte, rang 5 : tierces, sixtes).

L'ouïe n'est certes pas d'une précision absolue, et elle est douée d'une certaine tolérance, mais les musiciens et les amateurs de musique s'accordent généralement à trouver consonants :

un son fondamental et ses premiers harmoniques ;
un son fondamental et ceux qui sont en rapport de fréquence rationnelle simple (par exemple : 3/2, 4/3 etc.)
un son fondamental et ceux dont il est un harmonique proche - que Rameau appelle les harmoniques inférieurs - expression physiquement inexacte.

C'est sur la base de ce consensus qu'ont été élaborées la gamme heptatonique occidentale et ses différentes variantes.

[modifier] Terminologie et étymologie

En anticipant sur ce qui est expliqué après, les méthodes de division de l'octave en intervalles ont depuis très longtemps donné naissance à la gamme dite heptatonique, c'est-à-dire comprenant sept notes dans un intervalle d'octave.

Ces notes ont été nommées, dans le sens ascendant
En français	do	ré	mi	fa	sol	la	si	sib
Équivalence anglo-saxonne	C	D	E	F	G	A	B	Bb
Equivalence germanique	C	D	E	F	G	A	H	B

Le SOL est la « quinte » de DO c'est-à-dire la cinquième à partir de DO (comptée comme première) Le do est l'octave de DO, c'est-à-dire la huitième à partir de DO. On voit que do est la « quarte » de SOL, c'est-à-dire la quatrième à partir de SOL. De même, FA est la « quarte » de DO ou, ce qui revient au même, do est la « quinte » de FA.

On voit aussi qu'un ton majeur sépare FA (quarte de DO) et SOL (quinte de DO).

On parle aussi de gamme « diatonique », celle où les notes successives ont des noms distincts — la gamme chromatique étant celle où certaines notes prennent les mêmes noms avec dièse ou bémol et viennent s'intercaler entre les sons de la gamme diatonique.

En fait, aucune gamme n'est exempte d'inconvénients de diverses natures : un tempérament est une façon de la modifier légèrement pour en atténuer certains, parfois en en amplifiant d'autres.

[modifier] La gamme pythagoricienne

Construction de la gamme de Pythagore

La gamme « pythagoricienne » ou de Pythagore remonte aux mathématiciens grecs de l'Antiquité - Pythagore est connu en géométrie pour son célèbre théorème. On peut aborder cette construction par l'acoustique, en se fiant au sens de l'ouïe, ou par les mathématiques.

Partant de la note fondamentale DO, en s'élevant par intervalles de quintes successives et en ramenant la note obtenue dans la première octave, on trouve successivement les notes suivantes : SOL, RE, LA, MI, SI, FA#, DO#, SOL#, RE#, LA#, MI# et SI# qui est pratiquement le DO à l'octave de la note de départ, par lequel on le remplace (on remarque qu'après être monté continûment, de DO à SI, les notes suivantes après le FA# repartent du bas de la gamme, elles se situent légèrement au-dessus des notes déjà trouvées, et on leur donne le même nom, avec un dièse). La différence entre SI# et DO, très minime mais audible, s'appelle le comma pythagoricien et son existence est communément traduite en ce que « le cycle des quintes » (voir figure) ne se referme pas. On est obligé d'introduire un intervalle de quinte légèrement faux (la « Quinte du loup ») pour maintenir des octaves pures, ce qui est souvent considéré par les musiciens comme nécessaire.

Placement de la quinte du loup

En partant du DO supérieur et en descendant d'un intervalle de quinte, on obtient la note FA, pratiquement égale au MI# précédemment obtenu et auquel on le substitue.

La gamme pythagoricienne est la succession des notes obtenues par ce procédé et qui se trouvent diviser l'octave en intervalles grossièrement équivalents. Les notes non diésées sont au nombre de sept : la gamme diatonique est une gamme « heptatonique ». Sur un piano, elles seraient produites par les touches blanches. Quant à la gamme chromatique, composée de toutes les notes obtenues sauf celles qui font presque doublon (MI# et SI#) elle possède douze notes, et douze intervalles élémentaires. Les cinq notes complémentaires seraient, sur un piano, produites par les touches noires.

Les notes avec bémol sont obtenues par un cycle de quintes juste successives, non en montant, mais en descendant.

Dans la pratique on s'arrangerait pour reporter la quinte du loup dans un intervalle peu usité, souvent MI♭-SOL♯.

La gamme pythagoricienne a pour principaux inconvénients :

la quinte du loup, intervalle inutilisable ;
des intervalles de tierce majeure (DO-MI) qui sont assez loin de la consonance pure ;
des tons diatoniques qui ne sont pas égaux et qui rendent problématiques la transposition (le jeu d'un même morceau avec une note tonique différente) et la modulation (le changement, même temporaire, de tonalité au cours du même morceau).

De ce fait, elle n'est pratiquement pas utilisée de nos jours.

Pour un exposé complet, voir :

La construction de la gamme pythagoricienne ;
L'harmonie des sphères, théorie d'origine pythagoricienne fondée sur l'idée que l'univers est régi par des rapports numériques harmonieux, et que les distances entre les planètes dans la représentation géocentrique de l'univers correspondent à des intervalles musicaux.

[modifier] Les gammes naturelles (Zarlino, etc.)

Une gamme est dite naturelle lorsque les sons qui la composent (dans un intervalle d'octave) sont des harmoniques simples de la note tonique. Cette définition est suffisamment vague pour permettre des variantes, mais elles ont en commun de faire jouer un rôle important à l'intervalle de tierce majeure.

L'harmonique le plus simple, la quinte (intervalle DO - SOL, rapport de fréquences = 3/2) est la base de la gamme de Pythagore qui est très ancienne et probablement à l'origine de notre division de l'octave en sept notes : DO – RE – MI – FA – SOL – LA – SI.

La quinte a pour intervalle complémentaire la quarte (intervalle SOL – DO ou DO – FA, rapport de fréquences = 4/3). L'octave, la quinte et la quarte ont des rapports de fréquence qui sont tous de la forme (n+1)/n - n étant un nombre entier.

L'intervalle qui sépare la quarte et la quinte est le ton ou seconde majeure (intervalle FA - SOL ou DO - RE, rapport de fréquences = 9/8) : il est de la même forme (n+1)/n.

le comma syntonique

Mais la méthode de Pythagore produit un intervalle de tierce qui sonne relativement faux (rapport de fréquences 81/64), d'où l'idée de lui substituer un intervalle de la forme (n+1)/n qui en soit très proche, soit 5/4 - la tierce majeure « pure ». La différence entre ces deux intervalles est le comma syntonique.

Partant de cette nouvelle tierce majeure, on en déduit directement :

à la quarte : l'intervalle de sixte majeure (intervalle DO – LA, rapport de fréquences = 5/3 soit 5/4 x 4/3)
à la quinte : l'intervalle de septième (intervalle DO – SI, rapport de fréquences = 15/8 soit 5/4 x 3/2).

Nous avons ainsi déterminé les sept notes de la gamme diatonique.

Les gammes naturelles; tout comme celle de Pythagore, ont des inconvénients importants en matière de transposition et de modulation : de ce fait elles ne sont pas utilisées dans la pratique.

Pour un exposé complet, voir : Construction des gammes naturelles

[modifier] La juste intonation

Les imperfections des gammes théoriques ne concernent en fait que les instruments dits « à sons fixes » qui, une fois accordés, émettent au cours de la même pièce musicale, toujours la même fréquence pour la même note. Il n'en va pas de même pour la voix humaine ou pour les instruments dits « naturels » (tels le violon et sa famille, certains cuivres) qui peuvent s'adapter de manière quasiment instantanée, en cours d'exécution, à l'environnement modal, pour respecter de façon rigoureuse les intervalles mélodiques ou harmoniques du morceau joué.

Ces instruments permettraient ce que certains appellent la « juste intonation », dans laquelle la plupart des intervalles, qu'ils soient d'octave, de quinte, de tierce etc., simultanés ou successifs seraient purs de telle manière que, selon leur rôle musical, deux notes portant le même nom ne seront pas nécessairement jouées exactement à la même fréquence mais pourront différer de quelques commas.

Lien externe : Essai sur la question de la juste intonation : Utopie ou réalité?

accord selon la juste intonation

La juste intonation est généralement inaccessible aux instruments à sons fixes dits aussi « instruments tempérés » : ce sont les plus nombreux. Il est toutefois possible d'accorder ces instruments avec le maximum de quintes, tierces majeures et tierce mineures justes, comme le montre le schéma, mais évidemment certains intervalles ne peuvent pas l'être.

La théorie mathématique de la musique rend compte de la difficulté d'établissement des gammes et démontre même l'impossibilité de leur perfection, mais ce sont bien des contraintes pratiques et purement musicales qui introduisent la notion de tempérament.

[modifier] Le tempérament

La pratique montre et la théorie démontre qu'il n'est pas possible d'accorder un instrument à sons fixes sur plusieurs octaves en ayant à la fois tous les intervalles d'octaves, de quintes et de tierces purs. Si ceux-ci l'étaient, les intervalles de seconde, de quarte, de sixte et de septième qui en sont déduits le seraient aussi.

Cette constatation a imposé de trouver des compromis pour pouvoir pratiquer la musique sur de tels instruments. On appelle tempérament de tels compromis qui peuvent tendre :

à éliminer autant que possible l'effet sensible des commas, en plaçant ou en répartissant ceux-ci dans des intervalles inusités ;
à simplifier les échelles musicales en confondant les notes enharmoniques ;
à permettre ou faciliter les transpositions et modulations.

Le nombre de tempéraments qui ont été inventés pendant la Renaissance et la période baroque est considérable ; ils peuvent se répartir en 4 catégories, selon les principes mis en œuvre (mais d'autres critères de répartition sont possibles) :

les tempéraments mésotoniques ;
les tempérament inégaux ;
le tempérament égal ;
les tempéraments par division multiple.

On parle de tempéraments réguliers lorsque les corrections apportées aux intervalles s'appliquent également à tous : ce sont donc les tempéraments mésotoniques et le tempérament égal (qui est un mésotonique particulier). Les tempéraments inégaux sont dits « irréguliers ».

[modifier] Les tempéraments mésotoniques

La gamme pythagoricienne, fondée sur des intervalles de quinte pure présente plusieurs défauts :

le « cycle des quintes » ne se referme pas, c'est-à-dire que douze quintes ne correspondent pas exactement à sept octaves (ce que traduit l'existence du comma pythagoricien et de la « quinte du loup ») ;
les tierces majeures qu'elle engendre ne sont pas parfaitement pures ce que traduit l'existence du « comma syntonique », intervalle de hauteur entre la tierce majeure pure (5/4) et la tierce pythagoricienne (81/64) qui est sensiblement plus haute. Le comma syntonique est égal à 81/80 ou 3⁴/(5 x 2⁴).

L'idée des tempéraments mésotoniques va être de diminuer toutes les quintes d'une certaine fraction du comma syntonique de façon à rendre plus pures les tierces majeures résultantes sans pour autant trop fausser les quintes (l'écart résiduel venant du comma pythagoricien reste toujours concentré sur la quinte du loup).

Puisque la correction s'applique uniformément à toutes les quintes, les tierces majeures engendrées restent toujours égales à deux tons majeurs (les proportions sont conservées) ce qui n'est pas le cas avec les tempéraments inégaux. C'est cette propriété du « ton moyen » qui est à l'origine du terme « mésotonique » - on utilise aussi l'expression « tempérament régulier »·

Lors de la construction de la gamme pythagoricienne, on obtient la première tierce majeure (DO-MI) par quatre montées successives de quintes : DO-SOL, puis SOL-RE, puis RE-LA, enfin LA-MI. Si donc on veut un tempérament mésotonique à tierce majeure pure, il suffit de diviser le comma syntonique en 4, c'est-à-dire corriger la fraction 3/2 (la quinte) du coefficient (3⁴/(5 x 2⁴))^1/4 ou 3 / (2 x 5^1/4).

Le tempérament mésotonique à quart de comma syntonique est le plus utilisé. S'il rend les tierces plus pures, il fausse légèrement les quintes (ainsi d'ailleurs que les quartes), et ceci n'est pas indifférent car l'oreille est plus sensible à la pureté des quintes qu'à celle des tierces.

D'autres tempéraments mésotoniques présentent un meilleur compromis en répartissant la « fausseté » de façon plus équilibrée entre tierces et quintes : c'est le cas du tempérament à 1/6 ou 1/8 de comma.

Les tempéraments mésotoniques sont assez pratiqués dans la musique baroque, ils permettent des modulations acceptables dans les tons voisins de la tonique.

Pour un exposé complet, voir : Tempérament mésotonique

[modifier] Les tempéraments inégaux

L'idée des tempéraments inégaux vient du fait que, dans la pratique musicale, et spécialement à l'époque baroque avant que ne se généralise l'emploi de la gamme tempérée, tous les intervalles de quinte et de tierce majeure ne sont pas également usités.

On va donc essayer de réduire les effets indésirables du comma syntonique, voire du comma pythagoricien en les divisant de telle manière qu'on améliore la qualité de certains intervalles de quintes (donc de tierces), les intervalles les moins pratiqués pouvant se satisfaire de consonances moins bonnes.

Les possibilités sont extrêmement nombreuses et cette étude a mobilisé un grand nombre de théoriciens aux XVII^e et XVIII^e siècles, chacun proposant sa propre solution censée représenter le meilleur compromis : Werkmeister, Chaumont, Kirnberger, Rameau, Vallotti etc.

Dans le cadre d'un tempérament inégal, toutes les quintes (et conséquemment toutes les tierces) n'ont pas la même valeur en termes de rapports de fréquences : chaque tonalité possédait donc une « couleur sonore » particulière. Joie, tristesse, sérénité, mélancolie, etc. s'expriment dans le choix de tonalités censées mieux les représenter : ce critère est mis en pratique par les grands compositeurs tels que Bach et Couperin qui y attachent beaucoup d'importance. Le choix du tempérament utilisé peut, à l'inverse, être déterminé par la tonalité choisie et les modulations envisagées au cours d'une même pièce, certains étant mieux appropriés que d'autres.

Ces préoccupations ont complètement disparu depuis que la gamme tempérée a été adoptée de façon universelle par les compositeurs. Mais les tempéraments inégaux sont particulièrement adaptés à l'exécution du répertoire baroque, et les ensembles spécialisés les pratiquent couramment.

Pour un exposé plus complet : voir Tempérament inégal

[modifier] Les tempéraments par division multiple

Plusieurs théoriciens ont conçu des tempéraments basés sur une division de l'octave en plus de douze intervalles élémentaires. Constatant que la division en douze intervalles égaux n' aboutit pas à la pureté des intervalles de quinte et de tierce, ils ont recherché si une division de l'octave en un nombre différent d'intervalles ne permettait pas de se rapprocher de cette pureté idéale. De fait, plusieurs schémas de division ont ainsi été déterminés, qui permettent parfois d'améliorer aussi la qualité des autres notes. C'est d'ailleurs une évidence que plus l'intervalle élémentaire est petit, meilleure est l'approche de la pureté : de même qu'une règle graduée en mm donne une meilleure mesure qu'une règle graduée en cm.

Les méthodes sont diverses mais plusieurs d'entre elles mettent en œuvre la technique suivante :

déterminer deux intervalles « classiques » $I 1$ et $I 2$ reliés à l'octave (notée $O$ ) par une relation du type : $O = n_1\cdot I_1 + n_2\cdot I_2$ ,
$n 1$ et $n 2$ étant des nombres entiers ;
déterminer deux nombres entiers $N 1$ et $N 2$ tels que $\frac{N_1}{N_2}$ soit le plus proche possible de $\frac{I_1}{I_2}$ ;
si les deux rapports ci-dessus étaient rigoureusement égaux, il existerait un intervalle $i$ tel que $I_1 = N_1\cdot i$ et $I_2 = N_2\cdot i$ . On aurait donc $O=n_1\cdot N_1\cdot i + n_2\cdot N_2\cdot i$ ou encore $O=(n_1\cdot N_1 + n_2\cdot N_2)\cdot i$ ou enfin $i=\frac{O}{(n_1\cdot N_1 + n_2\cdot N_2)}$
on définit alors $i$ , calculé comme ci-dessus, comme base du tempérament.

Cette méthode introduit, entre autres, les tempéraments à 19, 31 et 53 intervalles élémentaires par octave, mais beaucoup d'autres idées ont été développées pour aboutir au tempérament idéal - qui n'existe pas.

Les tempéraments par division multiple n'ont de légitimité que s'ils apportent un véritable avantage en termes de musicalité. Ce sont en général plus des curiosités théoriques que des systèmes réellement mis en œuvre et ayant servi de support à de grandes œuvres. Il ne peuvent être pratiqués simplement qu'avec la voix ou certains instruments à intonation variable (famille des violons, certains cuivres) ou par des instruments à sons fixes conçus pour eux et comportant des dispositifs « exotiques » tels que claviers glissants, doubles claviers, touches divisées etc. Leur peu de succès pratique tient aussi à la difficulté du jeu qui nécessite une formation spécifique de l'artiste : le jeu n'en vaut guère la chandelle !

Pour un exposé détaillé de quelques-uns de ces tempéraments, voir : Tempérament par division multiple

[modifier] La gamme tempérée (tempérament égal)

La gamme tempérée est de nos jours utilisée de façon presque universelle dans la musique occidentale. Seules les œuvres antérieures (environ) à 1750 sont exécutées de nos jours dans d'autres systèmes, selon les habitudes en cours à l'époque de leur composition.

La gamme tempérée consiste, pour ainsi dire, à « trancher le nœud gordien » des inconvénients de tous les autres systèmes qui tentaient des compromis entre justesse de certains intervalles, fausseté pas trop marquée des autres, possibilités de transposition et/ou de modulation. Elle consiste tout simplement à diviser l'octave en douze intervalles chromatiques tous égaux.

Cette idée simple permet toutes les transpositions et toutes les modulations imaginables, puisque toutes les notes sont équivalentes quand on les considère comme toniques. Elle présente un seul inconvénient, mais qui est de taille et qui explique la réticence des musiciens à l'adopter avant la période dite « classique » : à l'exception des octaves, tous les intervalles sont plus ou moins faux. Toutefois, les écarts sont suffisamment faibles pour être admissibles. Et l'habitude aidant, puisque de nos jours quasiment toutes les musiques que nous entendons l'utilisent, cette faible dissonance ne choque personne, et c'est au contraire les anciens tempéraments qui surprennent notre oreille lorsque nous les expérimentons pour la première fois.

Les deux recueils de Jean-Sébastien Bach intitulés « Das wohltemperierte Klavier » ont peut-être été composés pour démontrer ces possibilités de jouer dans tous les tons majeurs et mineurs par l'utilisation du tempérament égal, sans modifier l'accord de l'instrument - bien que cette hypothèse fasse débat.

En fait, depuis longtemps, les instruments à cordes et à frettes, tels que guitares, luths, théorbes, violes ont dû être accordés selon la gamme tempérée car les rapports d'intervalles sont communs à plusieurs cordes accordées sur des notes différentes.

Si l'on se rappelle qu'additionner des intervalles revient à effectuer des multiplications de rapports de fréquence, on voit que l'octave égale le demi-ton chromatique élevé à la puissance douze ou encore que le demi-ton chromatique vaut $\sqrt[12]{2}$ .

La gamme tempérée est, de toutes, la plus difficile à accorder : contrairement aux autres systèmes ou l'instrumentiste doit établir de façon précise des consonances (auxquelles l'ouïe est très sensible), pour accorder un instrument en tempérament égal il doit établir des dissonances toutes égales à l'intérieur d'une octave, ce qui s'apprécie par la faculté à compter des « battements » par seconde. Cette technique est hors de portée pratique de l'amateur : le tempérament égal est à l'origine du métier d'accordeur de pianos. Avec un peu de pratique, l'amateur possesseur d'un clavecin peut assez facilement accorder son instrument selon un des tempéraments légués par le XVIII^e siècle.

Pour un exposé plus complet : voir Gamme tempérée

[modifier] Tableaux comparatifs

Comparaison des fréquences de notes de la gamme chromatique dans différents systèmes

[modifier] Premier tableau : même LA

**Fréquences des notes dans 3 systèmes, LA=440 Hz**
Note	Juste intonation	Gamme de Pythagore	Gamme tempérée
DO	264,00	260,74	261,63
DO♯	275,00	278,44	277,18
RE	297,00	293,33	293,66
MI♭	316,80	309,03	311,13
MI	330,00	330,00	329,63
FA	352,00	347,65	349,23
FA♯	371,25	371,25	369,99
SOL	396,00	391,11	392,00
SOL♯	412,50	417,66	415,30
LA	440,00	440,00	440,00
SI♭	475,20	463,54	466,16
SI	495,00	495,00	493,88
DO	528,00	521,48	523,25

NB Dans ce tableau :

La note LA est commune à 440 Hz (diapason actuel)
Les gammes naturelles sont représentées par la « juste intonation » à partir de DO
La gamme de Pythagore est montée de telle façon que la quinte du loup soit entre SOL♯ et MI♭.

[modifier] Second tableau : même DO

**Fréquences des notes dans 3 systèmes, Do=264 Hz**
Note	Juste intonation	Gamme de Pythagore	Gamme tempérée
DO	264,00	264,00	264,00
DO♯	275,00	281,92	279,70
RE	297,00	297,00	296,33
MI♭	316,80	312,89	313,95
MI	330,00	334,13	332,62
FA	352,00	352,00	352,40
FA♯	371,25	375,89	373,35
SOL	396,00	396,00	395,55
SOL♯	412,50	422,88	419,07
LA	440,00	445,50	443,99
SI♭	475,20	469,33	470,39
SI	495,00	501,19	498,37
DO	528,00	528,00	528,00

NB Dans ce tableau :

La note DO commune à 264 Hz donne LA à 440 Hz (diapason actuel) dans la juste intonation
Les gammes naturelles sont représentées par la « juste intonation » à partir de DO
La gamme de Pythagore est montée de telle façon que la quinte du loup soit entre SOL♯ et MI♭.

[modifier] Troisième tableau

**Intervalles importants dans 3 systèmes**
Intervalle	Juste intonation	Gamme de Pythagore	Gamme tempérée
Quinte DO-SOL	1,500	1,500	1,498
Loup SOL#-MIb	1,536	1,480	1,498
Tierce majeure DO-MI	1,250	1,266	1,260

NB Dans ce tableau, les intervalles sont calculés à partir du tableau précédent :

Dans la « juste intonation », la quinte et la tierce sont justes, la quinte du loup est horriblement fausse
Dans la gamme de Pythagore la tierce et la quinte du loup sont légèrement fausses
Dans la gamme tempérée, il n'y a pas de quinte du loup ; les quintes sont bonnes, et les tierces un peu trop grandes

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles annexes détaillés

[modifier] Autres articles

[modifier] Liens externes

Marc Texier, Les tempéraments, échelles sonores, micro-intervalles, Une nouvelle frontière de la musique http://homestudio.thing.net/revue/content/texier.htm (article bien écrit éclaircissant l'histoire des tempéraments)

Olivier Bettens, « Intonation juste » à la Renaissance : idéal ou utopie ? Esquisse d'un modèle fondé sur la théorie de Zarlino (article très long et très bien argumenté qui montre que les notions de gammes et de justesse ne sont pas toujours claires même pour les musicologues historiques! Et forme une bonne introduction à la question du tempérament, avec un petit logiciel gratuit d'expériences à télécharger)

"messensib" (pseudo), Le tempérament Musical. Partie 1 et Le tempérament Musical. Partie 2 (Articles sur macmusic.org)

Calculateur et analyseur de tempéraments en anglais - le site propose une feuille de calcul à télécharger gratuitement, permettant tous les calculs de tempéraments. ICI

Article d'AudioLexic sur les gammes

[modifier] Bibliographie et sources

Patrice Bailhache : Une histoire de l'acoustique musicale - CNRS Editions Paris 2001 - ISBN 2-271-05840-6
Pierre-Yves Asselin : Musique et tempéraments (Québec), Editions Jobert, 2000 - ISBN 2-905-335-00-9 (->voir la couverture)
Dominique Devie : Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
Heiner Ruland : Evolution de la musique et de la conscience - Approche pratique des systèmes musicaux, Éditions Anthroposophiques Romandes, Genève , 2006 (distribution SOLEAR, Paris).
Moreno Andreatta : "Méthodes algébriques en musique et musicologie du XXe siècle : aspects théoriques, analytiques et compositionnels", thèse, EHESS/IRCAM, 2003 (disponible en ligne à l’adresse: http://www.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/).
Edith Weber : La resonance dans les echelles musicales, révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, N°2 (1965), pp. 241-243 - doi:10.2307/927346
Franck Jedrzejewski: Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.

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