Opérateur laplacien

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$\Delta=\nabla^2$

$=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$
Article d' Analyse vectorielle

Équation aux dérivées partielles

Opérateurs

Laplacien

en théorie physique

groupe

physique mathématique

Modèle standard (physique)

En calcul vectoriel, l'opérateur laplacien ou le laplacien est un opérateur différentiel égal à la somme de toutes les deuxièmes dérivées partielles non mixtes d'une variable dépendante. Il apparait dans l'équation de Laplace et l'équation de Poisson.

Symbolisé par la lettre grecque delta, il peut aussi être défini comme la divergence du gradient, noté div (grad φ), d'où les identités :

$\Delta\phi \ = \ \nabla^2 \phi \ = \ \nabla \cdot ( \nabla \phi )$

Cet opérateur admet une généralisation aux espaces non-euclidiens suffisamment lisses, appelé opérateur de Laplace-Beltrami.

Sommaire

1 Expression dans différents systèmes de coordonnées
2 Propriétés
3 Fonction harmonique
4 Articles connexes
5 Lien externe

[modifier] Expression dans différents systèmes de coordonnées

[modifier] Coordonnées cartésiennes

En coordonnées cartésiennes (plan) bidimensionnelles, le laplacien est:

$\Delta=\nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 }$

En coordonnées cartésiennes tridimensionnelles:

$\Delta=\nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 }$

En coordonnées cartésiennes dans $\mathbb{R}^n$ :

$\Delta f(x_1,...,x_n)= \sum_{k=1}^n {\partial^2 f \over \partial x_k^2 }(x_1,...,x_n)$

[modifier] Coordonnées cylindriques

$\nabla^2 f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \phi^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }$

[modifier] Coordonnées sphériques

$\nabla^2 f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}$

[modifier] Propriétés

L'opérateur laplacien est linéaire:

Δ(f + g) = Δ f + Δ g

L'opérateur laplacien vérifie la règle de Leibniz pour un opérateur différentiel d'ordre deux :

$\Delta ( fg ) \ = \ ( \Delta f ) \ g \ + \ 2 \ ( \nabla f ) \cdot ( \nabla g ) \ + \ f \ ( \Delta g )$

L'opérateur laplacien est un opérateur négatif, au sens où, pour toute fonction $φ$ lisse à support compact, on a :

$\int \phi \ \Delta \phi \ = \ - \ \int || \mathrm{grad} \ \phi ||^2 \ \le \ 0$

Cette égalité se démontre en utilisant la relation $\Delta = \mathrm{div} \ \mathrm{grad}$ , en intégrant par partie, et en utilisant une version du théorème de Stokes.