Semigroupe
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Vous avez de En mathématiques, un semigroupe, ou semi-groupe, est une structure algébrique rudimentaire, en quelque sorte intermédiaire entre un magma et un groupe.
[modifier] Définition
Un semigroupe est un magma (E, * ) dont la loi de composition interne est :
- Unifère : elle possède un élément neutre.
- Associative : (x * y) * z = x * (y * z)
- Régulière : si x * y = x * z ou y * x = z * x, alors y = z.
Un semigroupe est donc plus structuré qu'un monoïde, mais moins qu'un groupe (tout élément d'un semigroupe ne possède pas forcément d'inverse).
Il est important de noter que la définition anglo-saxonne du semigroup est différente (il s'agit simplement d'un magma associatif).
[modifier] Exemples
Quelques exemples de semigroupes:
- L'ensemble des entiers naturels muni de l'addition
- Tout groupe
- Tout idéal d'un anneau muni de la multiplication sur cet anneau
- Tout sous-ensemble d'un semigroupe qui est fermé sous sa loi de composition interne
[modifier] Propriétés
Il est toujours possible, à partir d'un semigroupe commutatif (E, + ), de construire un groupe le contenant : c'est la procédure de symétrisation du semigroupe. On considère pour cela la relation d'équivalence dans E×E définie par :
![\forall (m,n) \in E^2 , \forall (p,q) \in E^2 , \ [ ( m , n ) \mathcal{R} ( p , q ) ] \Leftrightarrow [ m + q = p + n ] \,](../../../math/7/0/e/70ec755ba06e80519193317941003a75.png)
.
L'ensemble des classes d'équivalences de E×E pour 
est alors un groupe. Par identification d'un élément x de E avec la classe d'équivalence contenant ( x , 0 ) (où 0 est l'élément neutre de la loi +), il est possible de plonger E à l'intérieur de ce groupe.
Cette construction est utilisée, entre autres, pour construire le groupe des entiers relatifs 
à partir du semigroupe des entiers naturels .
