Spin

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Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa masse et sa charge électrique. Elle permet de caractériser le comportement de la particule sous l'effet de la symétrie de rotation de l'espace.

Sommaire

1 Définition simplifiée du spin
2 Le spin des particules usuelles
3 Historique
- 3.1 « Rotation propre »
4 Interprétation physique du spin
- 4.1 Opérateur spin
- 4.2 Spin 1/2 - matrices de Pauli
5 Moment magnétique de spin
6 Voir aussi
7 Bibliographie
- 7.1 Notes et références

[modifier] Définition simplifiée du spin

La notion de spin permet de classer mathématiquement la façon dont se transforment les objets sous l'effet des rotations de l'espace à trois dimensions. De façon générale, un objet possède un spin $s\,$ s'il est invariant sous une rotation d'angle $\frac{2\pi}{s}\,$ . Par exemple

Un objet sans symétrie particulière, par exemple une carte à jouer représentant un trois de trèfle, possède un spin 1 car il est nécessaire d'effectuer une rotation de $2\pi\,$ pour qu'il se retrouve dans sa position de départ.
Un objet possédant un peu plus de symétrie, comme une dame de pique par exemple, possède un spin deux car pour qu'elle revienne à sa position de départ, on peut se contenter de lui faire effectuer une rotation de $\pi=\frac{2\pi}{2}$ .
Une étoile à cinq branches possède un spin 5 car il est suffisant de lui faire faire une rotation de $\frac{2\pi}{5}\,$ .
Un objet complètement symétrique, comme une sphère par exemple, est invariante par rotation de n'importe quel angle. La définition simplifiée qu'on a donnée est difficile à appliquer dans ce cas mais mathématiquement il est naturel de dire qu'un tel objet possède un spin zéro.

Remarquons que d'ordinaire, puisqu'une rotation d'angle $2\pi\,$ est égale à l'identité, il semblerait que tout objet soit de spin entier car dans le pire des cas un objet devrait toujours être identique à lui-même sous une rotation d'angle $2\pi\,$ . Pourtant l'analyse mathématique rigoureuse du groupe des rotations montre une structure subtile qui permet à certains objets d'avoir un spin demi-entier. Pour de tels objets, faire un tour complet sur eux-mêmes n'est pas suffisant pour les faire revenir à leur position de départ mais il est nécessaire d'effectuer une rotation d'angle $4\pi\,$ . On ne rencontre pas de tels objets à notre échelle mais dans le monde microscopique ils sont courants et on les appelle des fermions dont un exemple bien connu est l'électron qui possède précisément un spin $\frac{1}{2}\,$ .

De façon plus rigoureuse, comme on va le voir plus bas, l'analyse du comportement des objets sous l'effet des rotations nécessite de prendre en compte la structure mathématique de groupe formé par celles-ci. A un objet se transformant sous les rotations est alors associée une représentation de groupe. Deux objets ayant des propriétés de symétrie similaires seront donc associés à des représentations équivalentes du groupe des rotations. De ce point de vue, le spin n'est rien d'autre qu'un nombre qui permet de classifier les différentes représentations inéquivalentes du groupe des rotations (on appelle cela les représentations irréductibles). C'est ainsi que l'on peut dire qu'une particule de spin 2 telle que le graviton (voir ci-dessous) possède la même symétrie du point de vue des rotations qu'une dame de pique car tous deux se transforment dans des représentations équivalentes.

[modifier] Le spin des particules usuelles

Le spin d'une particule est un nombre entier ou demi-entier positif, noté $s$ .

Bien que lié aux phénomènes de quantification du moment angulaire, le spin est bel et bien une propriété intrinsèque des particules. En particulier, il ne correspond à aucun mouvement de rotation hypothétique de ces particules.

Les particules possédant un spin demi-entier s'appellent fermions, celles possédant un spin entier s'appellent bosons. Plus spécifiquement :

Spin 0 : le boson de Higgs, particule hypothétique, non encore découverte expérimentalement.
Spin 1/2 : l'électron, le positron, le proton, le neutron, les neutrinos, les quarks, etc.
Spin 1 : le photon, les bosons W^± et Z⁰ vecteurs de l'interaction faible.
Spin 2 : le graviton, particule hypothétique vecteur de la gravitation.

Le spin de particules composées, comme le proton, le neutron, le noyau atomique ou l'atome, est constitué des spins des particules qui les composent auxquels s'ajoute le moment angulaire des particules élémentaires l'une par rapport à l'autre.

[modifier] Historique

La notion de spin a été introduite par Pauli en décembre 1924 [PA25] pour l'électron afin d'expliquer un résultat expérimental qui restait incompréhensible dans le cadre naissant de la mécanique quantique non relativiste : l'effet Zeeman anormal. L'approche développée par Pauli consistait à introduire de façon ad-hoc le spin en ajoutant un postulat supplémentaire aux autres postulats de la mécanique quantique non relativiste (équation de Schrödinger, ...).

L'introduction du spin permettra de comprendre également d'autres effets expérimentaux, comme les doublets des spectres des métaux alcalins, ou le résultat de l'expérience de Stern et Gerlach.

En 1928, Paul Dirac construira une version quantique et relativiste de l'équation de Schrödinger, appelée aujourd'hui équation de Dirac, qui permet de décrire les fermions de spin 1/2. Le spin y apparaît comme une propriété dérivée de son équation, et non comme un postulat supplémentaire à rajouter de façon ad-hoc.

Enfin, c'est en théorie quantique des champs que le spin montrera son caractère le plus fondamental. L'analyse du groupe de Poincaré effectuée par Wigner en 1939 montrera en effet qu'une particule est associée à un champ quantique, opérateur qui se transforme comme une représentation irréductible du groupe de Poincaré. Ces représentations irréductibles se classent par deux nombres réels positifs : la masse et le spin.

[modifier] « Rotation propre »

Historiquement, le spin a d'abord été interprété par Uhlenbeck et Goudsmit en septembre 1925 ^[1] [UG25] comme étant un moment cinétique intrinsèque, c'est-à-dire comme si la particule « tournait sur elle-même ». Cette vision classique d'une « rotation propre » de la particule est en fait trop naïve ; en effet :

si la particule est ponctuelle, la notion de rotation propre autour de son axe est tout simplement dénuée de sens physique ^[2].

si la particule n'est pas ponctuelle, alors la notion possède un sens, mais on se heurte dans ce cas à une autre difficulté ^[3]. Supposons par exemple que la particule soit un électron, modélisé comme étant un corps sphérique de rayon $a$ . On obtient une estimation du rayon $a$ en écrivant que l'énergie de masse de l'électron est de l'ordre de grandeur de son énergie potentielle électrostatique, soit :

$m c^2 \ \sim \ \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 a} \quad \Longrightarrow \quad a \ \sim \ \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m c^2}$

La valeur numérique de ce « rayon classique » de l'électron est : $a \ \simeq \ 10^{-15}$ m. Si l'on attribue alors à cet électron un moment cinétique égal à $\hbar /2$ , on obtient pour un point de l'équateur une vitesse

v

vérifiant :

$m a v \ = \ \frac{\hbar}{2} \quad \Longrightarrow \quad v \ = \ \frac{\hbar}{2 m a} \ \sim \ \frac{2 \pi \epsilon_0 \hbar c^2}{e^2}$

La valeur numérique vaut : $v \ \simeq \ 6 \ 10^{+10}$ m/s, donc la vitesse serait supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide, ce qui pose des problèmes avec la théorie de la relativité restreinte.

[modifier] Interprétation physique du spin

[modifier] Opérateur spin

En mécanique quantique, le spin est un opérateur vectoriel hermitien comportant trois composantes, notées usuellement $\hat{S}_x, \, \hat{S}_y$ et $\hat{S}_z$ par référence aux trois axes de coordonnées cartésiennes de l'espace physique. Ces composantes vérifient les relations de commutations :

$\left[ \, \hat{S}_i \, , \ \hat{S}_j \, \right] \ = \ i \ \hbar \ \epsilon_{ijk} \ \hat{S}_k$

où $ε i j k$ est le symbole de Levi-Civita. Ces relations de commutations sont analogues à celles découvertes en novembre 1925 par Born, Heisenberg et Jordan pour les composantes du moment cinétique orbital : $\left[ \, \hat{L}_i \, , \ \hat{L}_j \, \right] \ = \ i \ \hbar \ \epsilon_{ijk} \ \hat{L}_k$

Par analogie avec les résultats obtenus pour le moment cinétique orbital (ou plus généralement pour un moment cinétique quantique), il existe pour l'opérateur spin une base de vecteurs propres notés $| s, m s >$ , où $s$ est entier ou demi-entier, et $m s$ est un entier ou demi-entier prenant l'une des $2 s + 1$ valeurs $- \, s \le m_s \le s$ , tels que :

$\hat{S}^2 \ | s,m_s \rangle \ = \ s(s+1) \, \hbar^2 \ | s,m_s \rangle$

$\hat{S}_z \ | s,m_s \rangle \ = \ m_s \, \hbar \ | s,m_s \rangle$

[modifier] Spin 1/2 - matrices de Pauli

Pour une particule de spin 1/2 comme l'électron, on a $s = 1 / 2$ , donc $2 s + 1 = 2$ : il existe seulement deux états de spin distincts, caractérisés par $m_s = \pm 1/2$ . On note souvent les deux états propres correspondant : $| + >$ et $| - >$ , ou encore symboliquement : $| \uparrow \ >$ et $| \downarrow \ >$ .

Pauli a introduit trois matrices 2 x 2, notées $\hat{\sigma}_i, \ i = 1,2,3$ telles que l'opérateur de spin s'écrive :

$\hat{S}_i \ = \ \frac{\hbar}{2} \ \hat{\sigma}_i$

Ces trois matrices de Pauli s'écrivent explicitement :

$\hat{\sigma}_x \ = \ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \ ; \quad \hat{\sigma}_y \ = \ \begin{pmatrix} 0 & - \ i \\ i & 0 \end{pmatrix} \ ; \quad \hat{\sigma}_z \ = \ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - \ 1 \end{pmatrix}$

Elles satisfont les relations de commutation :

$\left[ \, \hat{\sigma}_i \, , \ \hat{\sigma}_j \, \right] \ = \ 2 \ i \ \epsilon_{ijk} \ \hat{\sigma}_k$

[modifier] Moment magnétique de spin

Voir l’article Moment magnétique de spin.

[modifier] Définition. Facteur de Landé

Au moment cinétique orbital d'une particule de charge $q$ et de masse $m$ est associé un moment magnétique orbital :

$\vec{\mu}_L \ = \ \frac{q}{2 m} \ \vec{L}$

Le facteur $q / 2 m$ est appelé rapport gyromagnétique. De même, on associe à une particule de charge $q$ , de masse $m$ , et de spin donné un moment magnétique de spin :

$\vec{\mu}_S \ = \ g \ \frac{q}{2 m} \ \vec{S}$

où $g$ est un nombre sans dimension, appelé facteur de Landé (1921). Ce nombre varie selon la nature de la particule : on a approximativement $g = 2$ pour l'électron, $g = 2.793$ pour le proton, et $g=- \, 1.913$ pour le neutron ^[4].

[modifier] Magnéton de Bohr

Pour l'électron, on a les valeurs suivante : $s= \hbar /2$ et $g = 2,002$ ; on introduit alors le « quantum magnétique » suivant, appelé magneton de Bohr : $\mu_{B} = \frac{e \hbar}{2 m_e}$

[modifier] Moment magnétique anormal de l'électron

Voir l’article Moment magnétique anormal.

L'équation de Dirac prédit pour l'électron un facteur de Landé exactement égal à : $g = 2$ . Or, la valeur expérimentale admise en 2005 vaut :

$g \ \simeq \ 2.002 \ 319 \ 304 \ 373 \ 7$

Il existe donc un écart, décelé pour la première fois en 1947 dans la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium [KN02] : on parle alors du moment magnétique anormal de l'électron. La théorie quantique des champs du modèle standard permet de rendre compte de cette anomalie avec une très grande précision.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliographie

[PA25] Wolfgang Pauli ; Zeitschrift fur Physik 31 (1925) 373.
[UG25] George E. Uhlenbeck et Samuel Goudsmit ; Naturwissenschaften 13 (1925) 953.
[UG26] Samuel Goudsmit et George E. Uhlenbeck ; Nature 117 (1926) 264.
Sin-Itiro Tomonaga ; The story of spin, The university of Chicago press (1997), ISBN 0-226-80794-0. Traduction anglaise d'un ouvrage paru en japonais en 1974.
[KN02] Marc Knecht ; The anomalous magnetic moments of the electron and the muon, séminaire Poincaré (Paris, 12 Octobre 2002), publié dans : Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (Eds.) ; Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003), ISBN 3-7643-0579-7. Texte complet disponible au format PostScript.

[modifier] Notes et références

↑ Un problème de facteur 2 dans la structure fine du spectre de l'hydrogène, identifié par Heisenberg, sera résolu en décembre 1925 avec l'aide d'Einstein, sous l'impulsion de Bohr. Ce dernier demandera aux deux physiciens hollandais de publier le résultat en urgence : S. Goudsmit et G.E. Uhlenbeck ; Nature 117 (1926) 264.
↑ Par définition, l'axe de rotation d'un objet est le lieu de points de cet objet qui restent immobiles. Si la particule est ponctuelle, son axe propre est sur la particule, donc celle-ci est immobile.
↑ Il faudrait aussi expliquer quelles sont les forces internes qui assurent le cohésion de cet électron étendu. Ce problème a occupé un grand nombre de théoriciens dans les années 1895 à 1930, avant que l'électrodynamique quantique et son électron ponctuel ne deviennent bien établies.
↑ Bien que le neutron ait une charge $q = 0$ , on lui attribue ici un facteur de Landé correspondant au moment magnétique de spin calculé pour la valeur $q = e$ , afin de le comparer à ceux de l'électron et du proton.

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Catégories : Physique théorique • Physique quantique

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