מספר אלגברי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מספר אלגברי הוא מספר מרוכב המהווה שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים. בפרט, כל מספר רציונלי r הוא אלגברי, משום שהוא פותר את המשוואה $\ x-r=0$ . מספר (מרוכב) שאינו אלגברי נקרא מספר טרנסצנדנטי.

אוסף כל המספרים האלגבריים מהווה שדה, הנקרא שדה המספרים האלגבריים. אוסף המספרים האלגבריים הוא בן מניה, בעוד שהמשלים לו אינו בן מניה. במובן זה ישנם הרבה יותר מספרים שאינם אלגבריים מאשר מספרים אלגבריים, למרות שבאופן מעשי קשה ביותר להוכיח שמספר נתון (כגון פאי או e) אינו אלגברי.

דוגמאות.

$\sqrt{2}$ הוא מספר אלגברי - הוא מאפס את הפולינום $\ x^2 - 2$ .
$i=\sqrt{-1}$ הוא מספר אלגברי - הוא מאפס את הפולינום x²+1.
המספרים e, פאי ו- $\ e^{\pi}$ אינם אלגבריים.

ההגדרה המובאת כאן מסתפקת בכך שמספר אלגברי יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים רציונליים. הגדרה מקובלת אחרת דורשת שהמספר יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים שלמים. שתי ההגדרות שקולות זו לזו, משום שפולינום במקדמים רציונליים אפשר להפוך לפולינום במקדמים שלמים על-ידי כפל בגורם משותף. את ההגדרה הראשונה אפשר להכליל למושג איבר אלגברי בהרחבה כללית של שדות; אחרי הכל, מספר אלגברי אינו אלא איבר אלגברי של שדה המספרים המרוכבים מעל שדה המספרים הרציונליים. באופן דומה, ההגדרה השנייה הולמת אם חושבים על שדה המספרים המרוכבים כאלגברה מעל חוג המספרים השלמים: האיברים האלגבריים בהרחבה זו הם בדיוק המספרים האלגבריים.

[עריכה] שלמים אלגבריים

מספר (מרוכב) המהווה שורש של פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים, נקרא שלם אלגברי. תורת המספרים האלגברית, העוסקת בתכונות של מספרים כאלה (ובאופן כללי יותר בחוגי שלמים בשדות ממימד סופי מעל שדה המספרים הרציונליים) היא הכללה של תורת המספרים הקלאסית. לדוגמה, מספר רציונלי הוא שלם אלגברי אם ורק אם הוא שלם (במובן הרגיל).