Алгебраическое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Алгебраи́ческое число́ над полем $k\,\!$ — элемент алгебраического замыкания поля $k\,\!$ , то есть корень многочлена с коэффициентами из $k\,\!$ .

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть $k=\mathbb{Q}$ , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается $\mathbb{A}$ . Поле $\mathbb{A}$ является подполем комплексных чисел.

Эта статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам».

[править] Связанные определения

Вещественное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
Целым алгебраическим числом называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом единица.
Если — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным 1. Такой многочлен автоматически является неприводимым, он называется каноническим, или минимальным, многочленом алгебраического числа .
- Степень канонического многочлена $\alpha\,\!$ называется степенью алгебраического числа $\alpha\,\!$ .
- Другие корни канонического многочлена $\alpha\,\!$ называются сопряжёнными к $\alpha\,\!$ .
- Высотой алгебраического числа $\alpha\,\!$ называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем $\alpha\,\!$ своим корнем.

[править] Примеры

Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами 1-й степени.
Мнимая единица $i\,\!$ так же как $\sqrt2$ являются алгебраическими числами 2-й степени. Сопряжёнными к этим числам являются соответственно $-i\,\!$ и $-\sqrt2$ .
При любом натуральном $n\,\!$ , $\sqrt[n]2$ является алгебраическим числом $n\,\!$ -й степени.

[править] Свойства

Множество алгебраических чисел счётно.
Множество алгебраических чисел плотно в комплексной плоскости.
Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел (кроме деления на нуль) суть алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
Для всякого алгебраического числа $\alpha\,\!$ существует такое натуральное $N\,\!$ , что $N\alpha\,\!$ — целое алгебраическое число.
Алгебраическое число $\alpha\,\!$ степени $n\,\!$ имеет $n\,\!$ различных сопряжённых чисел (включая себя).
$\alpha\,\!$ и $\beta\,\!$ сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля $\mathbb{A}$ , переводящий $\alpha\,\!$ в $\beta\,\!$ .

[править] История

Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обоснования теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида $a + bi\,\!$ , где $a\,\!$ и $b\,\!$ — целые числа. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн (F. Eisenstein) создали арифметику чисел вида $a + b\rho\,\!$ , где $\rho = (-1+i\sqrt3)/2$ — кубический корень из единицы, а $a\,\!$ и $b\,\!$ — целые числа. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Э. Куммера (Е. Kummer) к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила свое дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Е. И. Золотарев (теория идеалов), Г. Ф. Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), А. А. Марков (кубическое поле), Ю. В. Сохоцкий (теория идеалов) и другие.