Parabola

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Parabola

Parabola (a görög παραβολή-ből) egy kúpszelet, melyet körkúp-felület és sík metszésekor kapunk, ha a sík párhuzamos a kúp alkotójával. A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy azon pontok mértani helye, melyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól (fókuszpont, vagy gyújtópont) és egy adott egyenestől (direktrix, vezéregyenes).

Különleges eset lép fel, ha a metszősík a kúpfelület érintősíkja. Ebben az esetben a parabola metszesvonal egyenessé fajul.

[szerkesztés] Definiciók és áttekintés

A parabola, mint tükör, a fókusz, a direktrix (zöld) és a vezérsugarak (kék)

[szerkesztés] Az ellipszis egyenletei

Descartes-koordinátarendszerben egy, az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolának egyenlete, melynek csúcsa (h, k), fókuszpontja (h, k + p) és direktrixe y = k - p, ahol p a fókusz távolsága a csúcstól:

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

vagy:

$(y - k) = \frac{1}{4p}(x-h)^2 \,$

Általánosabban: a parabola olyan görbe, mely a Descartes-féle derékszögű koordinátarnedszerben az alábbi alakú egyenlettel definiálható:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

ahol $B 2 = 4 A C$ , az összes együttható valós, A és C nem zéró, és ahol több, mint egy megoldás, mely egy (x, y) pontpárt definiál a parabolán, létezik. Az egyenlet nem redukálható, ez azt jelenti, hogy az egyenlet nem szorzata két szükségszerűen független lineáris tényezőnek.

[szerkesztés] Más geometriai definiciók

Diáknóta a paraboláról

A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy az egy olyan kúpszelet, melynek excentricitása 1. Ennek következményeképpen minden parabola hasonló egymáshoz. A parabola úgy is meghatározható, hogy azoknak az ellipsziseknek a határesete, melyeknek egyik fókuszpontja rögzített, a másik fókuszt pedig tetszőleges távolságba mozdítjuk el. Ebben az értelmeben parabola elipszisként fogható fel, melynek egyik fókusza a végtelenben van. A parabola a kardioid inverz transzformáltja.

A parabolának egyetlen tükörtengelye van, mely a fókuszán halad át és merőleges a direktrixére. A parabola és tengelye metszéspontját a parabola csúcsának nevezik. Ha a parabolát megforgatjuk tengelye körül, a súrolt felület a forgási paraboloid.

[szerkesztés] Egyenletek

Az egyenletekben szereplő jelölések: (h, k) az ellipszis csúcspontja, p a csúcspont és a fókuszpont közötti távolság (ha a csúcspont a fókusz alatt van vagy, ami ugyanezt jelenti, a direktrix felett, akkor p pozitív egyébként p negatív, hasonlóan vízszintes parabola-tengely esetén p pzitív, ha a csúcpont balra van a fókusztól, vagy ami ugyanazt jelenti, jobbra a direktrixtől.

[szerkesztés] Descartes-koordinátarendszer

[szerkesztés] Függőleges szimmetria-tengely

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

$y = a(x-h)^2 + k \,$

$y = ax^2 + bx + c \,$

$\mbox{ahol }a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k; \ \$

$h = \frac{-b}{2a}; \ \ k = \frac{4ac - b^2}{4a}$ .

Paraméteres egyenletek:

$x(t) = 2pt + h; \ \ y(t) = pt^2 + k \,$

[szerkesztés] Vízsintes szimmetria-tengely

$(y - k)^2 = 4p(x - h) \,$

$x = a(y - k)^2 + h \,$

$x = ay^2 + by + c \,$

$\mbox{ahol }a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-k}{2p}; \ \ c = \frac{k^2}{4p} + h; \ \$

$h = \frac{4ac - b^2}{4a}; \ \ k = \frac{-b}{2a}$ .

Paraméteres egyenletek:

$x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \,$

[szerkesztés] Semi-latus rectum és polárkoordináták

Polárkoordináták esetén, ha a parabola fókusza az origóban van, és a csúcsa a negatív x-tengelyen helyezkedik el, az egyenlet:

$r (1 - \cos \theta) = l \,$

ahol l a semi-latus rectum: a távolság a fókuszponttól a paraboláig a tengelyre merőleges egyenesen mérve.

[szerkesztés] Parabola tükör

Ha parabola alakú tükör fókuszába fényforrást helyezünk, a teljes parabola felület a fénysugarakat a tengellyel párhuzamos nyalábban fogja visszatükrözni. Ezt a tulajdonságát használják fényszórók készítésére. Fordítva, ha gyakorlatilag párhuzamos fénnyaláb a tengellyel egyirányban vetődik a parabola alakú tükör felületére, a visszavert sugarak a fókuszban találkoznak. Ha elég nagy a parabola tükör felülete, a Nap összegyűjtött sugarai képesek meggyújtani a fókuszba helyezett gyúlékony anyagot, ezért is hívják a fókuszt gyújtópontnak. A parabola tükröknek ezt a tulajdonságait nap-kencék és nap-kazánok építésénél hasznosítják.

[szerkesztés] Parabola és a fizika

A parabola nagyon sok fizikai jelenségben megtalálható. A legismertebb jelenség a egy test hajításának parabolikus pályája állandó gravitációjú térben, ha nem hat a légellenállás. Ezt a jelenséget Galilei fedezte fel a 17. század elején, amikor kisérleteket végzett golyók lejtőn való legördülésével. A pálya parabola alakját később Isaac Newton igazolta. Kiterjedt test esésekor, például műugró ugrásakor a test bonyolult mozgásokat végezhet, foroghat, stb. de a test tömegközéppontja parabolikus pályán mozog. A parabola pálya, mint alegtöbb esetben itt is csak közelítés. A légellenállás torzítja a pálya alakját, de ez kis sebességeknél elhanyagolható. Nagyobb sebességeknél az az elhanyagolás nem megengedett, a ballisztika más hatásokat is figyelembe vesz.

Forgó folyadék parabola alakú felszine.

A két-test problémánál például egy kisbolygónak a Nap gravitációs tere következtében fellépő mozgása folyamán is felléphet parabola alakú pálya. Az ilyen parabola alakú pálya speciális eset és ritkán fordul elő a természetben. A hiperbola vagy ellipszis alakú pályák sokkal gyakoribbak. A parabola alakú pálya az előbbiek határesete.

Parabolikus boltívek az Antoni Gaudí tervezte Casa Milàban.

A parabola közelítést a függőhidak kábeleinek alakjánál is használják. A kifeszített kötél pontos alakja ugyan láncgörbe szerinti, de kis belógások esetén jó közelítést ad a parabolával való helyettesítés is.

Forgási paraboloidok szintén gyakran előfordulnak a fizikában. A legismertebb példa a parabolikus tükör, mely fényt vagy más elektromágneses sugárzást (például rádihullámokat) a fókuszpontba gyűjt. A parabolikus tükröt i.e. 3. században Archimedes találta fel, aki a legenda szerint parabolikus tükröt szerkesztett, hogy megvédje Siracusa városát a római hajóhad támadása ellen úgy, hogy a nap sugarait a római hajók fedélzetére koncentrálta és így felgyújtotta azokat. A parabolikus tükröt a 17. században távcsövek készítésére is használni kezdték, a legnagyobb csillagászati távcsövek ma is tükrös teleszkópok. Ma parbolikus antennákat használnak elterjedten a mikrohullámú és mesterséges holdakkal folytatott távközlésben.

A forgó folyadék felszine szintén parabola alakot vesz fel. Ez a jelenség az alapja a folyékony tükör teleszkópok működésének.

[szerkesztés] Lásd még

Kúpszeletek
Láncgörbe
Paraboloid
Hiperbola
Ellipszis

[szerkesztés] Külső hivatkozások

[szerkesztés] Referenciák

I.N. Bronstejn-K.A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás (Műszaki könyvkiadó, Budapest 1987.)
Pattantyús Gépész és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet Műszaki könyvkiadó, Budapest 1961.)

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../p/a/r/Parabola.html"

Kategória: Geometria

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Parabola

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definiciók és áttekintés

[szerkesztés] Az ellipszis egyenletei

[szerkesztés] Más geometriai definiciók

[szerkesztés] Egyenletek

[szerkesztés] Descartes-koordinátarendszer

[szerkesztés] Függőleges szimmetria-tengely

[szerkesztés] Vízsintes szimmetria-tengely

[szerkesztés] Semi-latus rectum és polárkoordináták

[szerkesztés] Parabola tükör

[szerkesztés] Parabola és a fizika

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Külső hivatkozások

[szerkesztés] Referenciák

Views

Navigáció

Keresés

Más nyelveken