Hiperbola

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Egy hiperbola

A matematikában a hiperbola egyike a kúpszeleteknek, melyeket a egy egyenes körkúpkúp felülete és egy sík metszésvonalaként definiálhatunk. Hiperbola abban az esetben jön létre, ha a sík mindkét félkúpot metszi.

A hiperbola úgy is definiálható, hogy azon pontok mértani helye, melyeknél két rögzített ponttól (fókusz vagy gyújtópont) való távolságának különbsége állandó.

A két definició ekvivalenciájának egyszerű bizonyítását lásd a Dandelin gömböknél.

Matematikailag a hiperbola a kétdimenziós Descartes koordinátarendszerben az alábbi egyenlettel definiálható:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

akkor, ha $B 2 > 4 A C$ , ahol az összes együttható valós és ahol több mint egy megoldás, mely a hiperbola egy (x ,y) pontpárját definiálja, létezik.

[szerkesztés] Definíciók

A hiperbola úgy is definiálható, hogy azon pontok mértani helye, melyeknél az egyik fókusztól való távolság és egy egyenestől (direktrix vagy vezéregyenes) való távolság hányadosa állandó és nagyobb 1-nél. Ez az állandó a hiperbola excentricitása. A fókuszpontok a hiperbola egyik szimmetriatengelyén fekszenek, köztük lévő távolság felezőpontját a hiperbola középpontjának, a másik szimmetriatengely az elsőre a középponton átmenő merőleges egyenes.

A hiperbolának két, egymással nem érintkező ága van két külön fókusszal.Nagy távolságra a fókuszoktól a hiperbola tart egy egyeneshez, melyet aszimptotának hívnak.

Konjugált hiperbolák

Konjugált hiperboláknak azokat nevezik, melyeknek aszimptotái megegyeznek, csak az aszimptoták különböző oldalain helyezkednek el.

A konjugált hiperbola speciális esete az egyenlőszárú vagy egyenlőoldalú hiperbola, melynél az aszimptoták által bezárt szög derékszög. Annk az egyenlőszárú hiperbolának az egyenlete, melynek aszimptotái a koordináta tengelyekre esnek: xy=c, ahol c állandó.

Ahogy a sinus és cosinus függvényekkel az ellipszis egy parametrikus egyenletrendszerét lehet felírni, a sinus hyperbolicus és cosinus hiperbolycus függvények a hiperbola parametrikus egyenletrendszerét adják.

[szerkesztés] Egyenletek

[szerkesztés] Descartes koordinátákkal

Kelet-nyugat irányban nyitott hiperbola:

$\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1$

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

$\frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} = 1$

Mindkét képletben (h,k) a hiperbola középpontja, a a fél-nagytengely (a két ág közötti távolság fele) és b a fél-kistengely. Megjegyezzük, hogy b lehet nagyobb, mint a.

Az excentricitás:

$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

A kelet-nyugat irányban nyitott hiperbola fókuszpontjai:

$\left(h\pm c, k\right)$

és ugyanez észak-dél irányban nyitott hiperbolára:

$\left( h, k\pm c\right)$ ahol

c 2 = a 2 + b 2

Egyenlőszárú hiperbolák egyenlete, melyek aszimptotási párhuzamosak a koordináta tengelyekkel:

$(x-h)(y-k) = c \,$

[szerkesztés] Polár koordinátákkal

Kelet-nyugat irányban nyitott hiperbola:

$r^2 =a\sec 2\theta \,$

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

$r^2 =-a\sec 2\theta \,$

Északkelet-délnyugat irányban nyitott hiperbola

$r^2 =a\csc 2\theta \,$

Északnyugat-délkelet irányban nyitott hiperbola

$r^2 =-a\csc 2\theta \,$

Az összes egyenletben a középpont az origóban van és a a fél-nagytengely.

[szerkesztés] Parametrikus egyenletek

Kelet-nyugat irányban nyitott hiperbola:

$x = a\sec t + h\,$ vagy $x = a\cosh t + h\,$

$y = b\tan t + k\,$ vagy $y = b\sinh t + k\,$

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

$x = a\tan t + h\,$ vagy $x = a\sinh t + h\,$

$y = b\sec t + k\,$ vagy $y = b\cosh t + k\,$

Mindkét egyenletben (h,k) hiperbola középpontja, a a fél-nagytengely, b a fél-kistengely.

[szerkesztés] Lásd még

Ellipszis
Parabola
Kör
Dandelin gömbök

[szerkesztés] Referenciák

I.N. Bronstejn-K.A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás (Műszaki könyvkiadó, Budapest 1987.)
Pattantyús Gépész és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet Műszaki könyvkiadó, Budapest 1961.)

[szerkesztés] Külső hivatkozások

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../h/i/p/Hiperbola.html"

Kategória: Geometria

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Hiperbola

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíciók

[szerkesztés] Egyenletek

[szerkesztés] Descartes koordinátákkal

[szerkesztés] Polár koordinátákkal

[szerkesztés] Parametrikus egyenletek

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Referenciák

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Views

Navigáció

Keresés

Más nyelveken