Base (topologia)

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In matematica, una base B per uno spazio topologico X con topologia T è una collezione di aperti in T tali che ogni insieme aperto di T è unione di alcuni (anche infiniti) elementi di B. Diciamo che la base genera la topologia T. Le basi sono utili perché caratterizzano molte proprietà topologiche dello spazio (soprattutto quelle locali).

[modifica] Proprietà delle basi

Una base ha le seguenti proprietà:

Gli elementi della base ricoprono X (cioè, la loro unione è X).
Siano B₁ e B₂ elementi della base e sia I la loro intersezione. Per ogni x in I c'è un altro elemento della base B₃ contenente x e contenuto in I.

D'altra parte, una collezione B di sottoinsiemi di X che soddisfa queste due proprietà è base di un'unica topologia per X. Usando le basi si possono quindi definire agevolmente molte topologie.

[modifica] Esempi

Dato uno spazio metrico (X,d), la sua topologia è definita usando come base tutte le palle aperte centrate nei vari punti e aventi raggio variabile.
La stessa topologia per lo spazio metrico (X,d) si ottiene fissando un numero positivo k>0 e prendendo solo le palle aperte centrate nei vari punti e aventi raggio minore di k.
La stessa topologia per lo spazio metrico (X,d) si ottiene prendendo solo le palle aperte centrate nei punti di un sottoinsieme denso di X e aventi raggio razionale minore di k.
Per quanto appena detto, se uno spazio metrico ha un sottoinsieme denso numerabile, allora ha una base numerabile. Ad esempio, la retta, il piano e più in generale lo spazio euclideo n-dimensionale hanno una base numerabile (benché contengano una quantità di punti più che numerabile).
Dato un insieme X, se prendiamo come base tutti gli insiemi che constano di un punto solo otteniamo la topologia discreta.
Dato un insieme X, se prendiamo come base soltanto l'insieme X otteniamo la topologia banale.
Possiamo definire sulla retta reale una topologia diversa da quella usuale prendendo come base l'insieme di tutte le semirette destre date da x>d, dove d è un numero reale variabile. Lo spazio che ne risulta non è di Hausdorff.