Divisore

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Nella matematica, un divisore di un intero n è un intero che divide n senza resto. Ad esempio, 7 è un divisore di 42 in quanto 42/7=6. Si dice anche che 42 è divisibile per 7 o che 42 è un multiplo di 7, e si scrive 7 | 42. I divisori possono essere sia positivi che negativi. I divisori positivi di 42 sono {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Casi particolari: 1 e -1 dividono qualunque intero, ed ogni intero non nullo è un divisore di 0. La divisione per 0 non è definita. I numeri divisibili per 2 si chiamano pari, mentre quelli che non lo sono si chiamano dispari.

Il nome viene dall'operazione aritmetica della divisione: se a/b=c allora a è il dividendo, b è il divisore e c è il quoziente.

[modifica] Regole per piccoli divisori

Per approfondire, vedi la voce Criteri di divisibilità.

Esistono alcune regole utili per capire semplicemente alcuni piccoli divisori di un numero guardando le sue cifre decimali:

un numero è divisibile per 2 se (se e solo se) l'ultima cifra è divisibile per due (cioè se è pari)
un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3
un numero è divisibile per 4 se il numero formato dalle sue due ultime cifre è divisibile per 4
un numero è divisibile per 5 se l'ultima cifra è 0 oppure 5
un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3
un numero è divisibile per 7 se sottraendo il doppio dell'ultima cifra al numero senza l'ultima cifra il risultato è divisibile per 7 (ad esempio, 364 è divisibile per sette in quanto 36-2×4 = 28, che è divisible per 7). Se il numero è troppo grande, è possibile dividerlo in gruppi di tre cifre dalla destra alla sinistra, inserendo segni alternati fra ogni gruppo (ad esempio, invece di 1.048.576 è possibile fare la prova su 576-048+1 = 529, che non è divisibile per sette in quanto 52-18 = 34 non lo è)
un numero è divisibile per 8 se il numero dato dalle ultime tre cifre lo è
un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre lo è
un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0
un numero è divisibile per 11 se la somma a segni alterni delle sue cifre è divisibile per 11 (ad esempio 182919 lo è in quanto 1-8+2-9+1-9 = -22 = -2×11)
un numero è divisibile per 12 se è divisibile sia per 3 che per 4
un numero è divisibile per 13 se sottraendo 9 volte l'ultima cifra dal numero privato di questa il risultato è divisibile per 13 (ad esempio 858 lo è in quanto 85-9×8 = 13, che chiaramente è divisibile per 13). Il metodo della divisione dei grandi numeri in gruppi di tre cifre, spiegato a proposito della divisibilità per 7, funziona anche in questo caso
un numero è divisibile per 14 se è divisibile sia per 2 che per 7
un numero è divisibile per 15 se è divisibile sia per 3 che per 5
un numero è divisibile per 17 se è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17 (numeri con più di due cifre)
un numero è divisibile per 19, dopo averlo scomposto nella forma $100 a + b$ , solo se è divisibile $a + 4 b$
un numero è divisibile per 23 se è divisibile per 23 la somma del numero delle decine e del settuplo del numero delle sue unità

[modifica] Proprietà

Alcune proprietà fondamentali:

se a | b e a | c, allora a | (b + c)
se a | b e b | c, allora a | c
se a | b e b | a, allora a = b or a = -b

[modifica] Ulteriori informazioni

Un divisore positivo di n diverso da n stesso è chiamato divisore proprio.

[modifica] Numeri primi

Un intero n > 1 il cui unico divisore proprio è 1 viene chiamato numero primo.

Qualunque divisore positivo di n è un prodotto di fattori primi di n elevati ad una qualche potenza (non superiore a quella presente nella fattorizzazione di n stesso). Questa è una conseguenza del teorema fondamentale dell'aritmetica.

[modifica] Numeri perfetti

Un numero uguale alla somma dei suoi divisori propri è detto numero perfetto. I numeri minori della somma sono detti difettivi, quelli maggiori abbondanti.

[modifica] Numero di divisori

Il numero totale di divisori positivi di n è la funzione moltiplicativa d(n) (ad esempio, d(42) = 8 = 2×2×2 = d(2)×d(3)×d(7)). La somma dei divisori positivi di n è un'altra funzione moltiplicativa σ(n) (ad esempio, σ(42) = 96 = 3×4×8 = σ(2)×σ(3)×σ(7)).

Notiamo che se un numero p è primo allora ha due divisori, $p 2$ ha tre divisori, etc etc. In generale $p n$ ha $n + 1$ divisori. Quindi se la fattorizzazione prima di n è data da:

$n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \, ... \, p_n^{\nu_n}$

Allora il numero di divisori positivi di n è:

d (n) = (ν 1 + 1)(ν 2 + 1)...(ν n + 1)

ed ogni divisore è nella forma:

$p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \, ... \, p_n^{\mu_n}$

Dove:

$\forall i : 0 \le \mu_i \le \nu_i$

Ad esempio poiché

$36000=2^5\cdot 3^2\cdot 5^3$

allora

$d(36000)=(5+1)(2+1)(3+1)=6\cdot 3 \cdot 4=72$

e quindi 36000 ha 72 divisori.

[modifica] Relazione indotta dalla divisibilità

La relazione | di divisibilità rende l'insieme $\mathbb N$ degli interi non negativi un insieme parzialmente ordinato, precisamente un reticolo completamente distributivo. Il più grande elemento di questo reticolo è 0 ed il più piccolo è 1. L'operazione $\wedge$ è rappresentata dal massimo comun divisore mentre la $\vee$ dal minimo comune multiplo. Questo reticolo è isomorfo al duale del reticolo dei sottogruppi del gruppo ciclico infinito $\mathbb Z$

[modifica] Regole generali di divisibilità

Se un intero n è scritto in base b, e d è un intero tale che b ≡ 1 (mod d), allora n è divisibile per d. Le regole date sopra per d=3 e d=9 sono casi speciali di questo (b=10).

Possiamo generalizzare ulteriormente questo metodo per trovare come controllare, in qualsiasi base, la divisibilità di qualsiasi intero per un qualsiasi intero minore; cioè, determinare se d | a in base b. Per prima cosa cerchiamo una coppia di interi (n, k) tali che bⁿ ≡ k (mod d). Adesso, invece di sommare le cifre, prendiamo a (che ha m cifre) e moltiplichiamo le prime m-n cifre per k ed aggiungiamo il prodotto alle ultime k cifre, e ripetiamo se necessario. Se il risultato è un multiplo di d allora anche il numero originario è divisibile per d. Qualche esempio:

Poiché 10³ ≡ 1 (mod 37) (b=10, n=3, k=1, d=37) allora il numero a=1523836638 si può dimostrare divisibile per 37 in quanto: 1523836×1+638=1524474, 1524×1+474=1998, 1×1+998=999 (o, più semplicemente, visto che in questo caso k=1: 1+523+836+638=999); e 999 è divisibile per 37 per la conguenza vista sopra.

Ancora, 10² ≡ 2 (mod 7) (b=10, n=2, k=2, d=7), se a=43106 otteniamo 431×2+06=868; ripetiamo: 8×2+68 = 84 che è un multiplo di 7. Si noti che non c'è una terna (n, k, d) unica; difatti, avremmo potuto usare anche 10 ≡ 3 (mod 7) e quindi 1293×3 + 6 = 3885, 388×3 + 5 = 1169, 116×3 + 9 = 357, 35×3 + 7 = 112, 11&times3 + 2 = 35, 3×3 + 5 = 14 ed infine 1×3 + 4 = 7. Naturalmente questo non è sempre efficiente ma si noti che ogni numero della serie (43106, 12936, 3885, 1169, 357, 112, 35, 14, 7) è un multiplo di 7 e spesso si trovano multipli identificabili banalmente. Questo metodo non è necessariamente utile per alcuni numeri (ad esempio 10⁴ ≡ 4 (mod 17) è il primo n dove k < 10) ma si presta a calcoli veloci in altri casi dove n e k sono relativamente piccoli.

[modifica] Generalizzazioni

Si potrebbe parlare del concetto di divisibilità in ogni dominio d'integrità. Vedi il relativo articolo per una definizione in questo contesto.

[modifica] Voci correlate

Tavola dei fattori primi — una tavola con la fattorizzazione di numeri da 1 a 1000
Tavola dei divisori — una tavola con i divisori sia primi che non primi dei numeri da 1 a 1000
Funzione phi di Eulero

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) criteri di divisibiltà
(EN) divisibilità per 9 e per 11
divisibiltà per 7
divisibiltà per 81
calcolatore di fattori — calcolatore che mostra i fattori primi o i divisori di un numero dato

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../d/i/v/Divisore.html"

Categorie: Teoria dei numeri | Aritmetica

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