Dominio d'integrità
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In algebra, un dominio d'integrità è un anello commutativo con 0 ≠ 1 in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non-nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degli interi e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità.
In altre parole, un dominio d'integrità è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'anello 
è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni:
.
Equivalentemente, un dominio di integrità può essere definito come un anello commutativo in cui l'ideale nullo {0} è primo, o come sottoanello di un qualche campo.
La condizione che 0≠1 serve all'unico scopo di escudere l'anello banale {0} con un solo elemento.
Indice |
[modifica] Esempi
[modifica] Domini d'integrità
- L'esempio tipico è l'anello Z degli interi.
- Ogni campo è un dominio di integrità. Viceversa, ogni dominio di integrità artiniano è un campo. In particolare, gli unici domini di integrità finiti sono i campi finiti.
- L'anello D[x] dei polinomi in x a coefficienti in un dominio di integrità D è anch'esso un dominio di integrità. Per esempio, l'anello Z[x] dei polinomi a coefficienti interi è un dominio d'integrità; così come l'anello R[x, y] dei polinomi in due variabili a coefficienti reali.
- L'insieme di tutti i numeri reali della forma a + b√2 con a e b interi è un sottoanello di R e quindi un dominio d'integrità. Un esempio simile è dato dal sottoanello dei numeri complessi della forma a + bi con a e b interi (gli interi gaussiani).
- Gli interi p-adici.
- Se U è un sottoinsieme aperto connesso del piano complesso C, allora l'anello H(U) delle funzioni olomorfe f : U -> C è un dominio d'integrità.
- Se A è un anello commutativo e P è un ideale in A, allora l'anello quoziente A/P è un dominio d'integrità se e solo se P è un ideale primo.
[modifica] Anelli che non sono domini d'integrità
- Il gruppo ciclico finito con n elementi ha anche una ovvia struttura di anello commutativo. Se n è un numero primo, questo anello è un campo, e quindi anche un dominio di integrità. Se invece n non è primo, l'anello non è un dominio di integrità. Infatti: poiché n non è primo esistono a<n e b<n tali che n = ab, e tale uguaglianza nel gruppo diventa 0 = ab, con a e b diversi da zero.
- Un anello non commutativo non è un dominio di integrità. Ad esempio, l'anello delle matrici n x n generalmente non è commutativo.
[modifica] Campo delle frazioni
Se A è un dominio d'integrità, il più piccolo campo Quot(A) che contiene A come sottoanello è unicamente determinato a meno di isomorfismi ed è chiamato campo delle frazioni o campo quoziente di A.
Il campo quoziente può essere costruito esplicitamente, quozientando l'insieme delle frazioni nella forma a/b con a e b in A e b ≠ 0 tramite una certa relazione di equivalenza. Il campo delle frazioni degli interi è il campo dei numeri razionali: in questo caso la relazione di equivalenza è quella solita, per cui 4/3 e 8/6 sono in verità lo stesso numero razionale. Il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso.
[modifica] Altre proprietà
Sia A un dominio d'integrità.
- Se a e x sono due elementi di A tali che ax = a e a è diverso da zero, allora "si può semplificare" anche se a non è invertibile, e ottenere x = 1: infatti abbiamo a(x - 1) = 0 e quindi x = 1 perché A è un dominio dìintegrità.
- La caratteristica di A è zero o un numero primo.
- Se A ha caratteristica prima p, allora f(x) = x p definisce un omomorfismo fra anelli iniettivo f : A -> A, detto omomorfismo di Frobenius.
[modifica] Divisibilità, elementi primi e irriducibili
In un anello qualsiasi si possono estendere i concetti di divisibilità e di numero primo presenti in Z: in un anello commutativo le definizioni risultano però molto più semplici, e in un dominio di integrità il rapporto fra gli elementi e l'operazione di prodotto risulta essere più vicino a quanto accade in Z.
[modifica] Divisibilità
Se a e b sono elementi di un anello commutativo A, diciamo che a divide b o a è un divisore di b o b è un multiplo di a se e solo se esiste un elemento x in A tale che ax = b. In questo caso scriviamo a|b. Abbiamo le seguenti proprietà:
- se a|b e b|c, allora a|c;
- se a divide b, allora a divide ogni multiplo di b;
- se a divide due elementi, allora a divide anche la loro somma e la loro differenza.
Gli elementi che dividono 1 sono le unità di A, e sono precisamente gli elementi invertibili di A. Le unità dividono ogni altro elemento.
Se a|b e b|a, allora diciamo che a e b sono elementi associati; a e b sono associati se e solo se esiste un'unità u tale che au = b.
[modifica] Elementi primi e irriducibili
Nel tentativo di estendere una definizione di numero primo da Z ad un anello commutativo A qualsiasi, si nota subito che due definizioni equivalenti in Z possono non esserlo più in generale. Per questo motivo definiamo due concetti distinti, parlando di elementi irriducibili e primi.
- Un elemento a di A è irriducibile se non è un'unità e non può essere scritto come prodotto di due non-unità.
- Un elemento p diverso da zero di A è primo se p|ab implica p|a oppure p|b, per ogni a e b in A.
Le due definizioni coincidono su Z: un numero n è irriducibile (o primo) se e solo se n oppure -n è un numero primo.
Se A è un dominio d'integrità, un elemento primo è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che p = ab dove a e b sono elementi di A. Allora p divide sia a che b. Quindi p|a oppure p|b perché p è primo. Supponiamo p|a, cioè a = pq. Qindi p = pqb, ovvero p(1 - qb) = 0. Poiché A è un dominio di integrità e p non è lo zero, abbiamo qb = 1 e quindi b è un'unità. Quindi p è irriducibile.
In generale, un elemento irriducibile può non essere primo. Se A è un dominio a fattorizzazione unica) i due concetti sono equivalenti.
[modifica] Voci correlate
- (EN) Integral domains - WikiBook Introduction to Integral Domains
