Geometria descrittiva
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La geometria descrittiva è la parte della geometria che permette, attraverso determinate costruzioni geometriche, di rappresentare in modo inequivocabile su un stesso piano, oggetti bi- e tridimensionali gia esistenti (rilievo) o mentalmente concepiti (progetto).
I metodi di rappresentazione (di prospettiva, di assonometria e di Monge) della geometria descrittiva si basano principalmente su due operazioni fondamentali, dette operazioni di proiezioni e sezioni.
Gli assiomi della geometria descrittiva elementare sono sostanzialmente i postulati di Euclide, ma modificati dall'aggiunta della nozione di punto improprio, secondo una costruzione analoga a quella della geometria proiettiva (si veda anche la voce V postulato di Euclide).
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[modifica] Storia
Fin dall'antica civiltà egiziana, è stato dimostrato, attraverso il ritrovamento di disegni che illustravano copertura ellittica di tombe, un corretto utilizzo delle doppie proiezioni ortogonali. Tra il I secolo a.c. e il I secolo d.p. Vitruvio, nei suoi tratti intitolati "De architectura" usava come elementi di rappresentazione di edifici le piante ed i prospetti da lui denominati iconografie e ortografie. In epoca successiva, l'opera di Jacopo Barozzi da Vignola "i cinque ordini di architettura" in cui viene adoperato il metodo di Monge. Nello stesso periodo, lo studioso Alberto Dürer (1471-1528) definì alcuni procedimenti grafici riguardanti le coniche, come sezioni piane di un cono quadrico e, anche, lo studio della prospettiva. Nel 1600 gli studiosi Girard Desargues e Guarino Guarini hanno posto i fondamenti per la nascita della disciplina "geometria descrittiva", con questo nome è stata battizzata dallo scienziato francese Gaspard Monge (1746-1818). Nell 1700 fu pubblicato il libro "Geometrie descriptive" in cui vengono poste le regole fondamentali della geometria descrittiva. Regole che sono finalizzate, soprattutto, a rappresentare, su un stesso piano (detto piano di proiezione), gli oggetti in 3D. Attualmente la geometria descrittiva comprende come parte integrante la geometria proiettiva in cui studi più significativi e conclusivi si devono a Jean Victor Poncelet (1788-1867) discepolo di Monge. Con la geometria proiettiva viene introdotto il concetto di Ente geometrico improprio (punto, retta e piano), che determina una sostanziale differenza con la geometria euclidea, pur considerando validi i rimenenti postulati di Euclide.
[modifica] Concetti
Alcuni concetti fondamentali della geometria descrittiva sono:
- definizione degli enti geometrici fondamentali (punto, retta, piano, direzione e giacitura).
- postulati d'appartenenza: di un punto ad una curva; di una linea ad una superficie; di un punto ad una superficie.
- L'incidenza: tra due rette, tra una retta ed un piano, e tra due piani; o più in generale tra curve e superfici.
- Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità come casi limiti di Incidenza
- Le condizioni di tangenza (in particolare la tangenza tra coniche e la tangenza tra quadriche).
- la Corrispondenza biunivoca, quali prospettività, omologia, omologia inversa, Affinità prospettiva, affinità, omotetia, Omotetia inversa ed Involuzione.
[modifica] I Metodi della rappresentazione
Essi si classficano, in generale, secondo l'entità dello stabilito centro di proiezione. Quando esso è un punto proprio si parla di proiezioni centrali, altrimenti di Proiezioni Parallele, cioè quando tale centro di proiezione è punto improprio.
- proiezioni centrali
-
- il metodo della prospettiva.
- La restituzione prospettica (o fotorestituzione).
- teoria delle ombre con sorgente propria.
- il metodo della prospettiva.
-
- proiezioni ortogonali
- [il metodo dell'assonometria]]
- il Metodo di Monge
- il metodo delle proiezioni quotate.
- proiezioni ortogonali
-
- proiezioni oblique
- il metodo dell'assonometria
- teoria delle ombre con sorgente Impropria
- proiezioni oblique
[modifica] Problemi e costruzioni
Alcuni problemi di cui si occupa la geometria descrittiva sono:
- I problemi di misura delle distanze lineari (come ad esempio la costruzione geometrica che permette di detrminare la distanza minima di un punto da un piano]] eventualmente degenere) e di quelli angolari (come ad esempio l'angolo tra retta e piano).
- Raccordo tangenziale tra Tangenza tra coniche e quelli tra quadriche
- Sviluppo di solidi
- Approssimazione poliedrica di una superficie curva
[modifica] Curve geometriche
- Le coniche: ottenute come sezioni piane di un cono quadrico (punto, retta, ellisse, parabola ed iperbole)
- Le quartiche: ottenute, in generale, come in intersezione di due superficie quadriche che non hanno nessuna sezione piana in comune.
- Le curve cicloidiche: curve ottenute come conseguenza del movimento planare e rigido di una conica rispetto ad un'altra conica ad essa complanare.
- Le eliche: ottenute dal movimento trasrotazionale, tridimensionale e rigido di una conica rispetto ad una altra conica ad essa complanare.
[modifica] Superfici geometriche
Le principali categorie di superfici trattate dalla geometria descrittiva sono così classificate:
- Le superifici rigate: in questa categoria vengono trattate le superfici generate dal movimento rigido di una retta lungo una o più direttrici, come gli elicoidi rigati, i conoidi rigati e le superfici coniche ed i piani (come casi particolari di rigate).
- Le superfici toriche: questa categoria include tutti i tipi di tori che sono generatI dal movimento rotatorio affine o omotetico di una conica non degenere lungo una direttrice conica, anch'essa non degenere. La condizione è che tali coniche, direttrice e generatrice, siano ortogonali tra loro.
- I paraboloidi.
[modifica] Applicazioni
la geometria descrittiva viene applicata principalmente nei campi che riguardano la costruzione di manufatti architettonici. In particolare viene usata per avere proporzioni dimensionali e percettive di una data e possibile idea progettuale. L'applicazione informatica dei concetti della geometria descrittiva, permettono oggi giorno, oltre che quello, di poter creare una architettura ad alta complessita tridimesionale, ma soprattutto quello, di poter controllare e in modo inequivocabile ogni sua forma e dimensione.
Campi d'applicazioni
[modifica] Bibliografia
- Lezioni ed esercizi di geometria descrittiva, sul sito della facoltà d'"Architettura ValleGiulia" Università degli studi di Roma "La Sapienza".
- Vedere con La Mente, Gestione del processo Edilizio (GPE), nel sito della facoltà d'"Architettura ValleGiulia" - Università degli studi di Roma "La Sapienza".
[modifica] Glossario
In questa sottocategoria, della geometria descrittiva, vi sono termini e simblogie, utili a chi lavora nei vari campi di grafica, sia per facilitare il compito di reindividuare degli elementi notevoli di un dato oggetto geometrico, sia per acquisire un linguaggio tecnico in grado di facilitare il compito di descrivere, in modo chiaro, le situazione spaziali di tali elementi.
