Raccoglimento a fattor comune

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Il raccoglimento a fattor comune è un'operazione matematica che consente di mettere in evidenza una parte letterale o una serie di numeri che moltiplica tutto ciò che la segue. Si divide in totale e parziale. Nella pratica, segue lo stesso procedimento che porta a dire che $42 = 2\times 3\times 7\;$ , cioè la scomposizione in fattori primi.

Il raccoglimento a fattor comune è la più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori: Esempio: $AB+AC=A(B+C)\;$

Il raccoglimento parziale si ha quando non tutti i termini di un polinomio hanno dei fattori comuni: Esempio: $ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(x+y)(a+b)\;$ .

Il procedimento seguito in quest'ultimo raccoglimento è stato prima il raccogliere la $x\;$ tra i primi due addendi, e la $y\;$ negli ultimi due. Dato che poi, sia la $x\;$ che la $y\;$ sono moltiplicate per il fattore $a+b\;$ , si può raccogliere quest'ultimo e si ottiene il prodotto $(x+y)(a+b)\;$ .

[modifica] Utilità

L'operazione di raccoglimento a fattor comune è particolarmente utile perché consente di semplificare anche di molto polinomi che, se non ridotti ad una forma più accessibile, risulterebbero molto difficili da trattare Ad esempio: il polinomio $216x^3+262x^2-38x-35\;$ , scritto in questa forma risulta con numeri elevati e poco trattabile. Se lo si riduce, raccogliendo a fattor comune, si ottiene la forma molto più semplice: $(2x+7)(6x-1)(4x+5)\;$ . Questa forma è più ordinata dal punto di vista matematico e consente di fare molte più osservazioni che non rispetto alla forma non raccolta.

Se infatti bisogna risolvere l'equazione $216x^3+262x^2-38x-35=0\;$ , sarebbe necessario fare calcoli più impegnativi che se si utilizza la forma raccolta $(2x+7)(6x-1)(4x+5)\;$ : infatti, in quest'ultimo caso, per la legge di annullamento del prodotto, si può subito constatare che le radici dell'equazione sono: $x=-\frac{7}{2}\;$ , $x=\frac 1 6\;$ , $x=-\frac {5}{4}\;$ .

Allo stesso modo, se bisogna trovare gli zeri di funzione della $f(x)=216x^3+262x^2-38x-35\;$ , con il raccoglimento a fattor comune si nota subito che gli zeri della funzione (punti in cui la funzione si annulla) sono $x=-\frac{7}{2}\;$ , $x=\frac 1 6\;$ , $x=-\frac {5}{4}\;$ .

È indubbia poi l'utilità dell'usare il raccoglimento a fattor comune per semplificare le frazioni: se si ha ad esempio la frazione $\frac{216x^3+262x^2-38x-35}{35+38x-106x^2-24x^3}\;$ , si può utilizzare la scomposizione in fattori e ottenere la frazione $\frac{(2x+7)(6x-1)(4x+5)}{(2x+7)(4x+5)(1-3x)}\;$ . Dopo le semplificazioni dei fattori uguali, si ha la frazione più semplice $\frac{6x-1}{1-3x}\;$ .