Funzione (matematica)

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In matematica, una funzione $f$ da $X$ in $Y$ consiste in:

1) un insieme $X$ detto dominio di $f$

2) un insieme $Y$ detto codominio di $f$

3) una legge che ad ogni elemento $x$ in $X$ associa uno ed uno solo elemento $f (x)$ in $Y$ .

Si dice che $x$ è l'argomento della funzione, oppure la variabile indipendente, mentre $f (x)$ o $y$ è il valore della funzione, oppure la variabile dipendente. Nel linguaggio informatico x è l' input della funzione e y è il corrispondente output.

Sinonimi di "funzione" sono: "applicazione", "operatore", "mappa", "relazione binaria univoca", "trasformazione".

Questo concetto è fondamentale in tutti i rami della matematica.

[modifica] Esempi

I più semplici esempi di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono numeri. Per esempio, se a ogni numero associo il doppio di tale numero, ho una funzione.

Tuttavia, si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio o entrambi non sono insiemi di numeri. Per esempio, se a ogni triangolo del piano associo il cerchio inscritto in tale triangolo, ho pure una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio inscritto.

Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori, per esempio la funzione che alle coordinate x, y, z di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura T e pressione P dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna (x, y, z), e ha sempre un solo valore, che è la coppia (T, P).

[modifica] Definizione

Dati gli insiemi $X$ e $Y$ , si chiama funzione da $X$ in $Y$ un sottoinsieme $f$ del prodotto cartesiano $X \times Y$ tale che per ogni $x \in X\;$ , esiste uno ed un solo elemento $y \in Y\;$ tale che $(x, y) \in f$ . Tale elemento tradizionalmente si denota con $f (x)$ : in altre parole, invece di scrivere $(x, y) \in f$ possiamo usare la scrittura tradizionale $\,y=f(x)\;$ .

Il fatto che $f$ è una funzione da $X$ in $Y$ che associa a $x$ l'elemento $f (x)$ si può esprimere con la scrittura:

$\begin{matrix} f: & X & \rightarrow & Y \\ & x & \mapsto & f(x) \end{matrix}$

L'insieme $X$ (da cui la funzione $f$ "prende" i valori) è il dominio della funzione $f$ , mentre l'insieme $Y$ (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione $f$ ) è il codominio della funzione $f$ .

Osserviamo che i termini metaforici "prendere un valore" e "restituire un valore" fanno riferimento ad un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo trasformano nel corrispondente elemento del codominio. Dalla precedente ulteriore metafora del trasformare materialmente, segue il sinonimo trasformazione.

L'insieme $\{y \in Y : \exists x \in X : f(x)=y\}$ , cioè gli elementi del codominio per i quali esiste un x nel dominio che ha y come trasformata si chiama immagine di $\,f\,$ e si denota anche con $\,Im(f)\,$ o, a rigore impropriamente, $\,f(X)\,$ .

Anche questo termine proviene da un modello, quello che considera una funzione come un sistema ottico (ad esempio una lente); per tale modello agli elementi del dominio corrispondono possibili sorgenti luminose e agli elementi del codominio immagini di tali sorgenti.

[modifica] Operazioni sulle funzioni

Date due funzioni $f$ : $X$ → $Y$ e $g$ : $Y$ → $Z$ si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima $f$ ad $x$ e quindi applicando $g$ al risultato $f (x)$ .

Questa nuova funzione viene denotata con $g\circ f$ . Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere

$\,(g\circ f)(x) = g[f(x)]\,$

[modifica] Altre notazioni per le funzioni

Per il valore di una funzione $F$ corrispondente ad un elemento $x$ , denotabile con la notazione tradizionale $F (x)$ , vengono anche usate anche due altre scritture.

Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone

$\, Fx := F(x)\,$ .

Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissa si pone

$\, xF := F(x)\,$ .

Con queste notazioni per le composizioni di due funzioni $F$ e $G$ sono possibili ben 4 tipi i scritture:

$\, (F\circ G)x = G(Fx) \,$ ,

$\, (F\circ G)x = F(Gx) \,$ ,

$\, x(F\circ G) = (xF)G \,$ ,

$\, x(F\circ G) = (xG)F \,$ .

A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:

$\, F[x]=F(x)\,$ .

In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l'ordine delle operazioni. Tra l'altro questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.

[modifica] Funzioni di due o più variabili

Quando il dominio di una funzione f è il prodotto cartesiano di due o più insiemi e dunque la funzione agisce su coppie (o terne o n-uple) di elementi di insiemi allota l'immagine di una coppia $(x, y)$ viene indicata con la notazione

f (x, y)

sebbene in base alle notazioni introdotte sopra avremmo dovuto scrivere $f ((x, y))$ . In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di due (o più) variabili.

Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa due numeri naturali al loro prodotto: $f (x, y)$ = $x$ · $y$ . Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio N×N , l'insiema di tutte le coppie di numeri naturali.

[modifica] Funzioni a più valori

Se il codominio di una funzione $f$ è il prodotto cartesiano di due i più insiemi, questa può essere indicata come funzione a più valori. Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:

$(x,y) \to (y,x)$ .

Una tale funzione è spesso della polidroma, nel caso in cui sia il risultato di una operazione il cui risultato non è definito univocamente: ad esempio, la radice quadrata di un numero reale positivo può essere descritta come una funzione

$\mathbb R_+ \to \mathbb R^2$

che associa ad ogni numero reale positivo le sue due radici quadrate. Un altro esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.

[modifica] Operazioni binarie

Molte operazioni binarie dell'aritmetica, come l'addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano Z×Z in Z, e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè $x + y$ (e non $+ (x, y)$ ) per descrivere l'immagine della coppia $(x, y)$ tramite l'operazione $+$ .

Questa notazione è stata generalizzata dall'algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme $X$ dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.

[modifica] Tipologia

Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse. La affollata e articolata popolazione delle funzioni viene quindi classificata seguendo diversi criteri.

[modifica] Classificazione puramente insiemistica

[modifica] Classificazione in base al genere di dominio e codominio

funzione numerica
funzione discreta
successione
funzione di variabile reale
funzione di variabile complessa
morfismo
funzione di insieme
funzione indicatrice

[modifica] Classificazione delle funzioni nell'ambito della calcolabilità

funzione ricorsiva primitiva
funzione calcolabile
funzione ricorsiva (secondo la Tesi di Church-Turing, funzioni ricorsive e funzioni calcolabili sono la stessa cosa )
funzione ricorsiva totale
funzione enumerativa

[modifica] Classificazione delle funzioni dell'analisi infinitesimale

[modifica] Alcune funzioni notevoli

[modifica] Funzioni di interesse probabilistico e statistico

[modifica] Voci correlate

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Categorie: Matematica di base | Teoria degli insiemi

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